PERSAMAAN
DIFFERENSIAL
KASUS BVP
KELOMPOK IX
DISUSUN OLEH :
ASTRI GUSRITA (1507112641)
BANGKIT SWADI IWARA (1507117762)
RAHMAH NABILAH (1507113632)
RAHMAT AGUSTRIONO (1507122476)
RIZKA SHOLEHA (1507113702)
TEKNIK KIMIA S1 B
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS
RIAU
PEKANBARU
2017
BAB
IX
PERSAMAAN DIFFERENSIAL:
KASUS BVP
9.1 Pendahuluan
Persamaan diferensial merupakan formulasi dari model
matematika dari suatu fenomena alam. Fenomena aliran panas pada pelat besi,
aliran air pada suatu pipa, perkembangan bakteri, bergetarnya senar pada gitar
dan lain sebagainya merupakan fenomena-fenomena yang dapat diformulasikan
secara matematika dalam bentuk persamaan diferensial dibawah ini:
(9.1)
Dalam perkembangannya,
persamaan diferensial mempunyai peranan yang sangat penting dalam kehidupan
(alam). Banyak permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan dan teknik yang dapat
diformulasikan ke dalam bentuk persamaan diferensial dalam mencari
pemecahannya. Tetapi untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang rumit dan
besar terkadang sulit diselesaikan secara analitis. Oleh karena itu penggunaan
metode numerik dalam hal ini sangat tepat.
Boundary value problems
(BVP) adalah masalah yang sering dihadapi dalam menjelaskan sistem rekayasa. Sebuah
solusi numerik BVP diperlukan bila terdapat masalah dimana (1) sifat fisik
mengubah seluruh sistem, (2) kondisi batas non-ideal, atau (3) yang mengatur
persamaan tidak meminjamkan diri ke solusi analitis. Sebuah contoh dimana perubahan
sifat fisik akan menyebabkan masalah distribusi temperatur dimana konduktivitas
termal dari bahan mengalami perubahan signifikan dengan suhu. Sebuah contoh
dari kondisi batas non-ideal akan menjadi sebuah insulator sempurna.
Pada
bab ini dibahas satu
metode untuk solusi satu-dimensi yang BVP yaitu metode beda hingga dengan
prosedur konvergensi berturut-turut selama relaksasi (SOR), metode langsung (direct method), dan metode menembak (shooting method). Metode SOR digunakan
untuk dua dimensi yang BVP, yang juga menyajikan pengenalan kualitatif tentang
bagaimana elemen hingga dapat digunakan untuk memecahkan BVP itu.
Boundary value problem (BVP) seperti namanya adalah masalah yang perlu solusi
dari persamaan diferensial tergantung pada kondisi batas yang ditetapkan.
Misalnya satu dimensi umum persamaan orde kedua dapat ditulis sebagai :
(9.2)
Dalam rangka untuk
menyelesaikan masalah ini dua kondisi batas harus diketahui. Jika kedua kondisi
batas yang ditentukan untuk dua nilai yang berbeda dari z, masalahnya adalah
BVP. Jika kondisi batas kedua (sebenarnya kondisi awal, yaitu y dan y’) yang
ditentukan sebesar nilai yang sama x masalah adalah masalah nilai awal.
Biasanya kondisi batas adalah suatu bentuk yang lebih sederhana misalnya :
(9.3)
Yang merupakan
kasus khusus dari bentuk umum.
BVP sering digunakan untuk menjelaskan sistem rekayasa. Contoh analisis
keadaan stabil BVP tentang distribusi temperatur, medan aliran potensial, difusi
yang mengalir dalam suatu manifold. Untuk setiap contoh kecuali aliran di
manifold maka persamaan pengatur mengurangi persamaan Laplace ketika sifat
fisik dari sistem yaitu konduktifitas thermal, viskositas, koefisien difusi dan
konduktifitas listrik masing – masing diasumsikan konstan. Misalnya dalam kasus
distribusi temperatur satu dimensi mapan dengan konduktifitas panas konstan,
persamaan diferensial dapat berkurang menjadi:
(9.4)
Untuk geometri tertentu dalam kondisi batas yang ideal solusi analitik
dapat dirumuskan, pada kenyataannya carries law dan jager telah mengumpulkan
sejumlah solusi analitik untuk persamaan Laplace. Jenis geometri
dipertimbangkan untuk persegi panjang, silinder, kerucut, bed bola sementara
kondisi biasanya terbatas pada permukaan isolasi atau permukaan dinilai
konstan.
Ketika sebuah solusi analitis dari suatu masalah nilai batas diperoleh ia
memiliki bentuk berikut:
(9.5)
Dimana y adalah variabel dependent dan x adalah variabel independent.
Solusi biasanya ditulis sedemikian rupa sehingga variabel dependent dapat
ditentukan untuk setiap nilai z antara batas-batas. Solusi numerik dari BVP
diperlukan bila anda memiliki masalah dimana sifat fisik berubah selama sistem
meminjamkan sendiri untuk solusi analitis. Contoh dimana perubahan sifat fisik
akan menjadi masalah distribusi temperatur dimana konduktifitas thermal dari
perubahan material secara signifikan dengan suhu. Contoh kondisi batas non
ideal akan menjadi isolator sempurna.
Metode-metode yang dapat
digunakan pada kasus BVP ini diantaranya adalah :
1.
Succesive Over-Relaxation
Method
2.
Metode Langsung (Direct
Method)
3.
SOR Method
4.
Finite Element
5.
Shooting Method
Namun, didalam makalah ini
penulis hanya akan membahas tentang Metode Langsung (Direct Method)
9.2 Metode
langsung (direct method)
Dalam metode sebelumnya, perkiraan beda
hingga persamaan diferensial pengatur tersebut diselesaikan secara iteratif.
Dalam metode ini, perkiraan beda hingga persamaan diferensial yang mengatur
untuk setiap titik node akan dipecahkan secara simultan.
Penerapan metode langsung dapat
diringkas sebagai berikut:
1. Mengganti pendekatan beda hingga ke dalam
persamaan diferensial yang
mengatur untuk jalur interior, i.
2. Mengumpulkan seperti hal setiap titik node,
misalnya, Ti +1, Ti, Ti-1.
Persamaan ini berlaku untuk semua titik
catatan kecuali node terdekat dengan batas-batas tangan kiri dan kanan.
3. Menentukan
persamaan untuk node yang paling dekat dengan batas-batas tangan kiri dan
kanan. ini dilakukan dengan menggabungkan persamaan node umum (berkembang pada
langkah 1) dan rekursi untuk kondisi batas.
4. Memecahkan
sistem persamaan. metode thomas dapat digunakan jika persamaan diferensial
adalah aproksimasi linear digunakan.
Mekanisme Penyelesaian Secara Numerik dengan Direct
method dapat dinyatakan dalam algoritma
berikut ini :
|
Start
|
|
Finish
|
|
Central Difference
|
|
Penentuan Node
i
|
|
Metode Thomas
|
Metode langsung dengan mudah dapat
diterapkan untuk masalah satu-dimensi linear dengan konstanta kondisi batas. Metode langsung juga dapat
diterapkan ke dimensi lainnya. Misalnya, metode langsung dapat diterapkan untuk
solusi, tetapi beberapa modifikasi
diperlukan untuk menyelesaikannya.
Contoh soal
Soal 1 :
dik: r = r1 T
= Thot
r = r0 T
= Tcold
dimana, r = 0,05 Th
= 200
r = 0,1 T10
= 80
Penyelesaian:
Sehingga,
= 0 } x
(kali) 2
r2
Misal,
Untuk i = 1 Untuk
i = 2
(2,005)T2 – 4T1 + 1,995 T0
= 0 (2,005)T3
– 4T2 + 1,995 T1 = 0
-4T1 + 2,005T2 = -399 (1) 1,995T1 - 4T2 + 2,005T3 = 0 (2)
Untuk i = 3 Untuk
i = 4
(2,005)T4 – 4T3 + 1,995 T2
= 0 (2,005)T5
– 4T4 + 1,995 T3 = 0
1,995T2 - 4T3 + 2,005T4
= 0 (3) 1,995T3 - 4T4 + 2,005T5 = 0
(4)
Untuk i = 5 Untuk
i = 6
(2,005)T6 – 4T5 + 1,995 T4
= 0 (2,005)T7
– 4T6 + 1,995 T5 = 0
1,995T4 - 4T5 + 2,005T6
= 0 (5) 1,995T5 - 4T6 + 2,005T7 =
0 (6)
Untuk i = 7 Untuk
i = 8
(2,005)T8 – 4T7 + 1,995 T6
= 0 (2,005)T9
– 4T8 + 1,995 T7 = 0
1,995T6 - 4T7 + 2,005T8
= 0 (7) 1,995T7 - 4T8 + 2,005T9 = 0 (8)
Untuk i = 9
(2,005)T10 – 4T9 + 1,995 T8
= 0
1,995T8 - 4T9 + 2,005T10
= 0 1,995T8
- 4T9 = -160,4 (9)
Dengan menggunakan metode thomas didapatkan :
|
i
|
c
|
d
|
e
|
B
|
β
|
Ï’
|
T
|
|
1
|
1.995
|
-4
|
2.005
|
-399
|
-4
|
99.75
|
187.7282
|
|
2
|
1.995
|
-4
|
2.005
|
0
|
-3.00001
|
66.33361
|
175.5176
|
|
3
|
1.995
|
-4
|
2.005
|
0
|
-2.66668
|
49.62563
|
163.3679
|
|
4
|
1.995
|
-4
|
2.005
|
0
|
-2.50002
|
39.601
|
151.2788
|
|
5
|
1.995
|
-4
|
2.005
|
0
|
-2.40002
|
32.91806
|
139.25
|
|
6
|
1.995
|
-4
|
2.005
|
0
|
-2.33336
|
28.14465
|
127.2812
|
|
7
|
1.995
|
-4
|
2.005
|
0
|
-2.28574
|
24.56469
|
115.3721
|
|
8
|
1.995
|
-4
|
2.005
|
0
|
-2.25003
|
21.78038
|
103.5224
|
|
9
|
1.995
|
-4
|
2.005
|
-160.4
|
-2.22226
|
91.7318
|
91.7318
|
Soal
2
:
Untuk soal pada Gambar
7.5 dalam buku James B.Riggs halaman 245 dapat diselesaikan dengan Direct
Method.
Persamaan diferensialnya
Heat tranfer at x=0
Insulating surface of
x= 0.05 m
Untuk mrndapatkan hasil
yang akurat, gunkan 21 titik yang dimulai dari 0-20. Gunakan langkah 1 dan 2
pada direct method.
Subtitusikan persamaan
5.4 kedalam persamaan A
Kemudian gabung bagian
yang terdapat T1 dan T2, hasilnya
Langkah selanjunya, untuk
mencari insulating surface gunakan persamaan 5.3
Subtitusikan persamaan
diatas ke persamaan A untuk i=19
Setelah persamaan A, B
dan C didapat, gunakan untuk membuat 19 persamaan linear dan dilanjutkan dengan
Thomas Method.
Misalnya
diketahui:
Penyelesaian:
Untuk mendapatkan hasil
yang akurat, mari kita ambil 11 titik dengan
sebesar 0.005 meter. Pertama, subtitusikan
data yang ada kedalam persamaan 1 dan disusun dengan memisahkan Ti+1,
Ti, dan Ti-1.
Dimana nilai i
mempunyai nilai 2-10, ketika i=1 dan i=11 itu merupakan titik boundary. Untuk
i=2, nilai Ti-1 adalah nilai Th maka persamaannya adalah:
Begitu juga dengan
i=10, nilai Ti-1 sama dengan nilai Tc, jadi
Ketika Tc dan Th sudah
diketahui, maka dapat dibentuk 9 persamaan linear yang diketahui dan 9 yang
tidak diketahui, setelah itu dapat diselesaikan dengan metoda Thomas, hasilnya
dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel 9.1. Direct Method Solution
|
r
(m)
|
Temperatur
(oC)
|
|
0.05
|
200
|
|
0.055
|
183.51
|
|
0.06
|
168.44
|
|
0.065
|
154.59
|
|
0.07
|
141.76
|
|
0.075
|
129.81
|
|
0.08
|
118.64
|
|
0.085
|
108.14
|
|
0.09
|
98.24
|
|
0.095
|
88.88
|
|
0.1
|
80.00
|
Soal
3 :
dik: x = 0 T = 450
x = 0,15 T
=
dimana, h=40, k=60, B=0,02, Ta=90
Penyelesaian
:
maka, bentuk
didefenisikan dahulu dengan forward difference
=
dikali
(
Maka,
Untuk i = 1 Untuk
i = 2
T2 – 2,083T1 + T0 =
-7,5 , T0 = 450 T1
– 2,083T2 + T3 = -7,5
– 2,083T1 + T2 = -457,5 (1) T3–
2,083T2 + T1 = -7,5
(2)
Untuk i = 3 Untuk
i = 4
T2 – 2,083T3 + T4 =
-7,5 T3 – 2,083T4 + T5 =
-7,5
T4– 2,083T3 + T2 =
-7,5 (3) T5– 2,083T4 + T3 =
-7,5 (4)
Untuk i = 5 Untuk
i = 6
T4 – 2,083T5 + T6 =
-7,5 T5 – 2,083T6 + T7
= -7,5
T6– 2,083T5 + T4 =
-7,5 (5) T7– 2,083T6 + T5 =
-7,5 (6)
Untuk i = 7 Untuk
i = 8
T6 – 2,083T7 + T8 =
-7,5 T7 – 2,083T8 + T9 =
-7,5
T8– 2,083T7 + T6 =
-7,5 (7) T9– 2,083T8 + T7 =
-7,5 (8)
Untuk i = 9
|
T10
= T9, sehingga
|
T10– 2,083T9 + T8 =
-7,5 –
1,083T9 + T8 = -7,5 (9)
Dengan menggunakan metode thomas didapatkan,
|
I
|
C
|
d
|
E
|
b
|
β
|
Ï’
|
T
|
|
1
|
1
|
-2.083
|
1
|
-457.5
|
-2.083
|
219.6351
|
361.1358
|
|
2
|
1
|
-2.083
|
1
|
-7.5
|
-1.60292
|
141.7006
|
294.7459
|
|
3
|
1
|
-2.083
|
1
|
-7.5
|
-1.45914
|
102.2524
|
245.3198
|
|
4
|
1
|
-2.083
|
1
|
-7.5
|
-1.39766
|
78.52557
|
208.7553
|
|
5
|
1
|
-2.083
|
1
|
-7.5
|
-1.36752
|
62.90623
|
182.0176
|
|
6
|
1
|
-2.083
|
1
|
-7.5
|
-1.35175
|
52.08525
|
162.8872
|
|
7
|
1
|
-2.083
|
1
|
-7.5
|
-1.34322
|
44.36007
|
149.7765
|
|
8
|
1
|
-2.083
|
1
|
-7.5
|
-1.33852
|
38.74436
|
141.5973
|
|
9
|
1
|
-1.083
|
1
|
-7.5
|
-0.33591
|
137.6706
|
137.6706
|
9.3 Penutup
BVP
merupakan masalah nilai batas. Pada masalah IVP, harga batas diambil pada titik
awal maka permasalahan disebut initial value problem (IVP), dan bila
batas diambil pada dua tempat yang berbeda (tidak hanya di titik awal) maka
disebut boundary value problem (BVP). Pada boundary condition,
hasil perhitungan tidak hanya tergatung pada titik awal tapi juga pada titik
batas-batas yang lain (BVP).
Ada berbagai metode yang digunakan
dalam penyelesaian masalah pada sistem Boundary
Value Problem dan salah satunya adalah Direct
Method atau metode langsung.
Soal-soal Latihan
1.
Tentukan nilai BVP jika y′′ = − y −1, 0 ≤ x ≤ 1.
2.
Diketahui, y′′ = −xy + (3 − x − x2 + x3 )sin(x) + 4x cos(x), 0 ≤ x ≤ 1. Tentukan nilai BVP
3.
Tentukan BVP jika diketahui
y′′ = y2 + 2 2 cos(2 x)
− sin4 ( x), 0
≤ x ≤ 1.
4.
Tentukan BVP dari persamaan berikut
y′′ = f(x) in [0, 1], y(0) = 0, y(1) − y′(1) = 0.
5.
Tentukan
6.
d 2u/dx2 = 1 , u'(0) = 0.5 , u(1) = 2,
tentukan nilai BVP
DAFTAR
PUSTAKA
Bambang
Triatmodjo. 1997. Metode Numerik.
Yogyakarta: Beta Offset
Basuki, Achmad. 2004. Metode Numerik dan Algoritma Komputasi. Yogyakarta: Andi
James B. Riggs. 1988. An introduction to Numerical Methods For Chemical Engineers. Texas: Texas Tech University Press
Tidak ada komentar:
Posting Komentar