Agung prabowo: PDP METODE NUMERIK

Tugas Kelompok Metode Numerik

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP)

Oleh :

Kelompok 8

Kelas B

Rahmat Setiawan 1407111947

Doni Ari Dirgantara 1507113655

Dina Citra Naomi 1507121840

Riski Sandi Harahap 1507117759

Yuli Piana Dewi 1507112359

PROGRAM SARJANA TEKNIK KIMIA

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU

2017

KATA PENGANTAR

Metode Numerik merupakan mata kuliah wajib Semester VI pada program studi S1 Teknik Kimia dengan beban 3 SKS. Setelah mengikuti perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan dapat menyelesaikan masalah matematis teknik kimia secara numerik.Makalah PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP)

ini disusun untuk memenuhi nilai tugas pada semester VI mata kuliah Metode Numerik. Makalah ini disusun berdasarkan hasil studi pustaka dan diskusi kelompok.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu penulis mengharapkan saran-saran yang sifatnya membangun sebagai bahan pertimbangan untuk penulisan makalah di masa yang akan datang. Semoga makalah ini dapat memberikan sumbangan bagi perkembangan pendidikan dan bermanfaat bagi kita semua terutama bagi mahasiswa Teknik Kimia, Universitas Riau.

Pekanbaru, juni 2017

Penulis

8.1 Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan parsial suatu fungsi (yang diketahui) dengan dua atau lebih peubah bebas dinamakan persamaan diferensial parsial.

Persamaan diferensial parsial memegang peranan penting di dalam penggambaran keadaan fisis, di mana besaran-besaran yang terlibat di dalamnya berubah terhadap ruang dan waktu. Di dalam pembahasan tentang persamaan diferensial biasa, variabel bebas yang terlibat dalam masalah hanya satu, sedangkan untuk persamaan diferensial parsial variabel bebas berjumlah lebih dari satu.

Ordo turunan tertinggi dinamakan ordo persamaan tersebut. Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau taklinier. Sebuah persamaan diferensial disebut linier apabila persamaan itu berderajat satu dalam peubah biasanya dan turunan parsialnya. (hasil kali tidak dibolehkan). Bila tidak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut adalah taklinier. Jika setiap suku persamaan demikian ini mengandung peubah tak bebasnya atau salah satu dari turunannya, maka persamaan itu dikatakan homogeny dan bila tidak dikatakan tidak homogen,bentuk umum dari persamaan differensial parsial ini adalah:

Orde dari persamaan diferensial parsial ini adalah turunan tertinggi muncul pada persamaan diferensial parsial tersebut.

1. Persamaan differensial orde 1

2. Persamaan differensial orde 2

3. Persamaan differensial orde 3

Selanjutnya, persamaan diferensial parsial juga dibagi menjadi tiga jenis, yaitu persamaan diferensial eliptik, parabolik, dan hiperbolik. Misal, diberikan suatu persamaan diferensial parsial orde dua dalam variable ruang x dan waktu t,

di mana A, B dan C merupakan fungsi dari x dan t, sedangkan D adalah fungsi dari u dan derivative

dan

,serta x dan t. Yang membedakan atas tiga kelas persamaan differensial parsial tersebut pada nilai diskriminan B²-4AC pada persamaan (2.5)

1. Persamaan differensial parsial dikatakan persamaan hiperbolik jika nilai diskriminan B²-4AC >0

Salah satu contoh persamaan hiperbolik adalah pada persamaan gelombang

2. Persamaan diferensial parsial dikatakan persamaan parabolik jika nilai diskriminan B²-4AC =0, Salah satu contoh persamaan parabolik adalah pada persamaan difusi dalam bentuk

3. Persamaan diferensial parsial dikatakan persamaan eliptik jika nilai diskriminan B²-4AC < 0, Salah satu contoh persamaan eliptik adalah pada persamaan Laplace dalam bentuk

Berdasarkan Kondisi batas:

1. IVP (initial value problem). Bila nilai variable tak bebas atau turunannya diketahui pada kondisi mula mula

2. BVP (Boundary value problem), bila nilai variable tak bebas atau turunannya diketahui lebih dari satu nilai variable bebasnya.

8.1.1 Aplikasi Persamaan differensial parsial dalam teknik kimia

A. Persamaan Difusi

Misalkan sebuah tabung atau pipa berisi cairan yang tidak bergerak dan sebuah substansi kimia yang berdifusi di dalam cairan. Substansi kimia tersebut bergerak dari daerah yang memiliki konsentrasi tinggi ke daerah yang memiliki konsentrasi lebih rendah. Kecepatan gerak dari substansi kimia tersebut proporsional terhadap gradien konsentrasi. Misal u(x,t) adalah konsentrasi (massa per satuan panjang) dari substansi kimia tersebut pada posisi-x dari pipa pada saat-t. pada bagian pipa 0 sampai 1(lihat gambar 1) massa dari substansi kimia tersebut adalah:

M(t) =

Massa pada bagian ini tidak dapat berubah kecuali oleh adanya perubahan pada aliran masuk (flowing in ) atau aliran keluar ( flowing out). Dengan menggunakan Fick’s Law,

= Aliran masuk – Aliran keluar =-ku_x (X_0,t)-[-ku_x(x₁, t)]

dengan k adalah konstan. Dengan demikian persamaan (2.12) dan persamaan (2.13) sama dengan :

Ruas kanan pada persamaan (2.14) sama dengan

sehingga persamaan (2.14) dapat ditulis menjadi

U_t = ku_xx

Persamaan di atas merupakan persamaan difusi untuk kasus ruang dimensi 1. Persamaan difusi atau bisa disebut juga dengan persamaan panas adalah contoh lain dari persamaan diferensial parsial. Konduksi panas diilustrasikan dalam persamaan difusi dengan u(x,t) didefenisikan sebagai temperature pada posisi –x dan pada waktu –t(Riancelona, 2007).

B. Persamaan Konveksi Difusi

Misalkan pada reservoir dengan panjang x dan ketebalan y kemudian dilakukan injeksi uap dengan temperatur tertentu dan kecepatan V. Pada saat injeksi uap dilakukan, terjadi konveksi di dalam reservoir sehingga panas yang dihasilkan oleh uap tersebut akan berpindah ke minyak. Panas tersebut akan mengurangi viskositas dari minyak tersebut agar mudah terangkat. Bersamaan dengan itu, uap tersebut akan kehilangan panas yang disebut dengan konduksi. Dengan demikian, temperatur dari uap yang diinjeksikan tersebut akan semakin menurun hingga pada nantinya akan sama dengan temperatur reservoir.

Pada reservoir ini, konduksi panas yang bisa diilustrasikan dalam persamaan difusi yang dijelaskan sebelumnya sedangkan konveksi yang merupakan perpindahan dari minyak, air dan uap dari reservoir ke arah sumur produksi diilustrasikan dengan persamaan

sehingga persamaan konveksi dan konduksi panas yang terjadi saat injeksi uap tersebut dapat diilustrasikan dalam persamaan

= D

, 0<x> tak hingga

Dengan u(x,t) mendefenisikan temperature pada posisi-x dan waktu –t.

Persamaan di atas adalah persamaan konveksi difusi ( Convection Difusion Equation – CD Equation ) atau bisa juga disebut advection difusion equation atau transport equation. Persamaan konveksi difusi ini juga merupakan salah satu contoh persamaan difensial parsial yang memiliki banyak aplikasi. Persamaan diferensial parsial adalah suatu bentuk persamaan matematika yang mengandung satu atau lebih operator diferensial parsial pada variable bebas dari suatu fungsi peubah banyak (Riancelona, 2007).

8.1.2 Metode penyelesaian PDP Parsial secara numeris

A Metode beda hingga

Metode beda hingga memiliki tiga persamaan yaitu:

1. Forward difference

atau

2. Backward difference

atau

3. Central difference

atau

Defenisi turunan parsial tingkat 2

atau

8.2 Metode Euler

Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti.

Metode euler atau disebut juga metode orde pertama karena persamaannya kita hanya mengambil sampai suku orde pertama saja.

Misalnya diberikan PDB orde satu,

= dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x₀) = x₀

Misalkan

y_r = y(x_r)

adalah hampiran nilai di x_ryang dihitung dengan metode euler. Dalam hal ini

x_r = x₀ + rh, r = 1, 2, 3,…n

metode euler diturungkan dengan cara menguraikan y(x_r+1) d_{i se}kitar x_r ke dalam deret taylor :

y(x_r+1)=y(x_r)+

y’(x_r)+

y”(x_r)+… (1)

bila persamaan di atas dipotng samapai suku orde tiga, peroleh

y(x_r+1) = y(x_r) +

y’(x_r) +

y”(t), x_r<t<x_r+1
(2)

berdasarkan persamanan bentuk baku PDB orde orde satu maka

y’(x_r) = f(x_r, y_r)

dan

x_r+1 – x_r = h

maka persamaan 2 dapat ditulis menjadi

y(x_r+1)

y(x_r)+hf(x_r,y_r)+

y”(t) (3)

dua suku pertama persamaan di atas yaitu :

y(x_r+1) = y(x_r) + hf(x_r, y_r) ; r = 0, 1, 2,…,n (4)

atau dapat ditulis

y_r+1 = y_r + hf_r

yangmerupakan metode Euler.

8.2.1 Tafsiran geometri Metode PDP

f(x,y) dalam persamaan diferensial menyatakan gradiaen garis siggng kurva di titik (x,y). kita mulai menarik garis singgung dari titik (x₀,y₀) dengan gradien f(x₀,y₀) dan berenti di titik (x₁,y₁), dengan y₁ di hitung dari persamaan 4. Selanjutnya di titik (x₁,y₁) ditarik lagi garis dengan gradien f(x₁,y₁) dan berhenti dititik (x₂,y₂) dengan y₂ dihitung dari

persamaan 4. Proses ini kita ulang beberapa kali, misalnya sampai lelaran ke-n, sehingga hasilnya adalah garis patah-patah seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

y y=f(x)

gradient f(x_n-1,y_n-1)

…

x₀ x₁x₂ x₃… x_n-1 x_nx

(Tafsiran geometri untuk penurunan metode PDP)

y y(x)

y_r+1sejati

y_r+1

y_r

x_r x_r+1x

tafsiran geometri untuk penurunan metode euler

pada gambar kedua gradien (m) garis singgung di x_r adalah

Yang tidak lain adalah persamaan Euler.

8.2.2 Analisis Galat Metode Euler

Meskipun metode Euler sederhana, tetapi ia mengandung dua macam galat, yaitu galat pemotong (truncation error) dan galat longgokan (cumulative error). Galat pemotong dapat langsung ditentukan dari persamaan berikut:

(p.5)

Galat pemotongan ini sebanding dengan kuadrat ukuran langkah h sehingga di sebut juga galat per langkah (error per step) atau galat local. Semakin kecil nilai h (yang berarti semakin banyak langkah perhitungan). Nilai pada setiap langkah (y_r) dipakai lagi pada langkah berikutnya. Galat solusi pada langkah ke-r adalah tumpukan galat dari langkah-langkah sebelumnya. Galat yang terkumpul pada akhir langkah ke-r ini di sebit galat longgokan (cumulative error). Jika langkah dimulai dari x₀= a dan berakhir di x_n= b maka total galat yang terkumpul pada solusi akhir (y_n) adalah

(p.6)

Galat longgokan total ini sebenarnya adalah

8.2.3. Algoritma Metode Euler

Merghitung hampiran penyelesaian masalah nilai awal y

’= f(t,y) dengan y(t0) = y0 pada [t0, b]INPUT : n, t0, b, y0, dan fungsi fOUTPUT : (tk, yk), r = 1, 2, 3, …, n

LANGKAH-LANGKAH:

1. Hitung h = (b – t0)/n

2. FOR r = 1, 2, 3, …, n

Hitung xr= xr-1+ h, yr= yr-1+ h * f(xr-1, yr-1)

3. SELESAI

Contoh Soal 1 :

Diketahui persamaan differensial sebagai berikut:

Dimana C_A awal = 1 dan T awal = 300 K, tentukan konsentrasi dan temperatur setelah 100 sekon hingga tiga angka penting jika

Solusi

Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk

maka

Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk Explicit Euler

maka

dimana T₀=300 K dan C_A0=1 gmol/liter

Langkah 3. Pilih Δt yang tepat untuk menyelesaikan persamaan differensial di atas

Untuk Δt = 0,02

I	T	N_A	T
0 1 2 . . . 2500 . . . 5000	0 0,02 0,04 . . . 50 . . . 100	1 0,999264 0,998529 . . . 0,153627 . . . 0,023062	300 300,007358 300,01471 . . . 308,463728 . . . 309,769376

Jadi, konsentrasi A (C_A) dan temperatur (T) setelah t=100 sekon adalah C_A=0,023062 gmol/liter dan T=309,769376 K

Berdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara C_A dan T terhadap t

Gambar 2.4 Hubungan antara konsentrasi A (C_A) dan Temperature (T) terhadap waktu

Contoh Soal 2. Diketahui PDB , Dy/dx = x + y dan y(0)=1

Gunakan metode Euler untuk menghitung y(0, 10)dengan ukuran langkah h = 0,05 dan h = 0,02. Jumlah angka bena = 5.diketahui solusi sejati PDB tresebut adalahy(x) = ex– x – 1.

Penyelesaian:

(i) Diketahuia

= x

0= 0

b = 0.10

c = 0.05

dalam hal ini f(x,y) = x + y, dan penerapan metode Euler pada PDB tersebut menjadi

Langkah-langkah:

Jadi,

(bandingkan dengan solusi sejatinya,Sehingga galatnya adalah Galat = 0.0052 – 1.05775 = -1.1030

(ii) Diketahui Dalam hal ini , , dan penerapan metode Euler pada PDB tersebut menjadi hasil=[hasil; x y];endf=exp(b)-b-1;galat=f-y;hasileror=[f galat]

Outputnya yaitu:h = 0.0200

hasil =

0 1.0000

0.0200 1.0200

0.0400 1.0408

0.0600 1.0624

0.0800 1.0849

0.1000 1.1082

eror = 0.0052 -1.1030

Contoh Soal 3. Cari T(9,1) jika diketahui PDP sebagai berikut :

Dimana : T (0,x) = 0

T (t,0) = 0

T(t,1) = 25

· Langkah 1 : Ubah PDP tersebut ke bentuk Explicit

Atau :

j : arah t

i : arah x

· Langkah 2 : Tentukan ∆t dan ∆x sembarang yang sesuai, lalu hitung

Misal ∆t = 1

∆x = 0.1

delta t	1
delta x	0,1


	I	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
j	t\x	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	25
2	2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	12,5	25
3	3	0	0	0	0	0	0	0	0	6,25	12,5	25
4	4	0	0	0	0	0	0	0	3,125	6,25	15,625	25
5	5	0	0	0	0	0	0	1,5625	3,125	9,375	15,625	25
6	6	0	0	0	0	0	0,78125	1,5625	5,46875	9,375	17,1875	25
7	7	0	0	0	0	0,390625	0,78125	3,125	5,46875	11,32813	17,1875	25
8	8	0	0	0	0,195313	0,390625	1,757813	3,125	7,226563	11,32813	18,16406	25
9	9	0	0	0,097656	0,195313	0,976562	1,757813	4,492188	7,226563	12,69531	18,16406	25
10	10	0	0,048828	0,097656	0,537109	0,976563	2,734375	4,492188	8,59375	12,69531	18,84766	25

8.3. Contoh-contoh kasus dalam teknik kimia dan penyelesaian

1) Dua buah tangki air tersambung secara seri dan saling berinteraksi. Kecepatan aliran keluar merupakan fungsi akar kuadrat dari ketinggian air, jadi untuk tangki 2 sebagai fungsi

. Akan ditentukan ketinggian h₁dan h₂ sebagai fungsi waktu dari t = 0 sampai t=40 menit dengan interval 4 menit. Setelah disusun neraca bahan diperoleh persamaan differensial simultan sebagai fungsi waktu :

Harga – harga parameter yang ada :

β₁ = 2.5 ft^2.5/menit β₁ = 5/

ft³/menit

A₁ = 5 ft² A₂ = 10 ft² F= 5 ft³/menit

Dengan kondisi awal pada t = 0, h₁ = 12 ft dan h₂ = 7 ft

Solusi menggunakan Metode Euler:

Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk dy/dx = f(x,y)

Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk explicit euler

y_i+1= y_i + ∆x f (x_i, y_i)

maka

h_i+1= h_i + ∆x

h_i+1= h_i + ∆x(

Langkah 3 : Pilih ∆x yang tepat lalu selesaikan

Untuk∆t= 4

I	t (menit)	h₁ (ft)	h₂ (ft)
1	0	12	7
2	4	11,52786	6,665495
3	8	11,11771	6,357934
4	12	10,75433	6,080485
5	16	10,43051	5,832305
6	20	10,14183	5,611301
7	24	9,88482	5,415085
8	28	9,65647	5,241286
9	32	9,454003	5,087661
10	36	9,274844	4,952119
11	40	9,116611	4,832731

2) Sebuah persamaan isotermal tekanan konstan reaktor batch mengikuti reaksi berikut :

A (g) à 2P (g)

dimana r = 0,1 C_A² [=] gmole/L.sec

Mula – mula reaktor mengandung 0,01 gmole A dan 0.01 gmole dari gas inert pada volum 0,5 L.

Tentukan volum reaktor setelah 25 detik reaksi. Reaktor dijalankan pada unsteady-state dengan persamaan mole balance pada komponen A di reaktor, yielding :

dimana gas dapat diasumsikan sebagai gas ideal, maka :

V = 0,75 – 25 n_A [=] L

maka

Solusi menggunakan Metode Euler:

Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk dy/dx = f(x,y)

Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk explicit euler

y_i+1= y_i + ∆x f (x_i, y_i)

maka

Langkah 3 : Pilih ∆x yang tepat lalu selesaikan

Untuk∆t= 1 sekon

i	T	n_A
1	0	0,01
2	1	0,00998
3	2	0,00996
4	3	0,00994
5	4	0,009921
6	5	0,009901
7	6	0,009881
8	7	0,009862
9	8	0,009843
10	9	0,009824
11	10	0,009804
12	11	0,009785
13	12	0,009766
14	13	0,009748
15	14	0,009729
16	15	0,00971
17	16	0,009692
18	17	0,009673
19	18	0,009655
20	19	0,009636
21	20	0,009618
22	21	0,0096
23	22	0,009582
24	23	0,009564
25	24	0,009546
26	25	0,009528
27	26	0,00951

Diperoleh n_A setelah 25 detik = 0,00951 gmole

Langkah 4 : Hitung Volum setelah 25 detik reaksi :

V = 0,75 – 25 nA

V = 0,75 – 25 (0,00951)

V = 0,51225 L

3) Pada reaktor semi batch dengan reaksi

A B C

Dimana konsentrasi dalam gmol/liter dan kecepatan reaksi dalam gmol/liter.sekon. Tentukan waktu yang dibutuhkan untuk beraksi untuk mencapai konsentrasi maksimum B.

Kesetimbangan mol komponen pada keadaan unsteady-state:

tapi

dan

Dengan asumsi:

Substitusi nilai numerik sehingga menghasilkan

dimana n_A=n_B=n_C=0 pada t=0.

Solusi menggunakan Metode Euler:

Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk

maka

Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk Explicit Euler

maka

Langkah 3. Pilih Δt yang tepat untuk menyelesaikan persamaan differensial di atas, dengan

dan

Untuk Δt = 1 sekon

I	t	n_A	n_B	n_C	V_R	C_A	C_B	C_C
0	0	0	0	0	50	0	0	0
1	1	10	0	0	60	0,166667	0	0
2	2	19,83333	0,166667	0	70	0,283333	0,002381	0
3	3	29,27972	0,720258	1,98E-05	80	0,365997	0,009003	2,48E-07
4	4	38,24411	1,755548	0,000344	90	0,424935	0,019506	3,82E-06
5	5	46,70676	3,291183	0,002056	100	0,467068	0,032912	2,06E-05
6	6	54,6898	5,302729	0,007472	110	0,49718	0,048207	6,79E-05
7	7	62,23587	7,743879	0,020254	120	0,518632	0,064532	0,000169
8	8	69,39531	10,55945	0,04524	130	0,53381	0,081227	0,000348
9	9	76,21889	13,69298	0,088125	140	0,544421	0,097807	0,000629
10	10	82,75403	17,09089	0,155089	150	0,551694	0,113939	0,001034
11	11	89,04308	20,70446	0,252455	160	0,556519	0,129403	0,001578
12	12	95,12289	24,4907	0,386416	170	0,559546	0,144063	0,002273
13	13	101,0249	28,41232	0,562826	180	0,561249	0,157846	0,003127
14	14	106,7755	32,43748	0,787065	190	0,561976	0,170724	0,004142
15	15	112,3968	36,53924	1,063957	200	0,561984	0,182696	0,00532
16	16	117,9072	40,69502	1,397736	210	0,561463	0,193786	0,006656
17	17	123,3219	44,88602	1,792042	220	0,560554	0,204027	0,008146
18	18	128,6534	49,09668	2,24994	230	0,559363	0,213464	0,009782
19	19	133,9118	53,31422	2,773959	240	0,557966	0,222143	0,011558
20	20	139,1057	57,52816	3,366126	250	0,556423	0,230113	0,013465
21	21	144,242	61,73002	4,028024	260	0,554777	0,237423	0,015492
22	22	149,3263	65,91292	4,760831	270	0,55306	0,244122	0,017633
23	23	154,3633	70,07137	5,56537	280	0,551297	0,250255	0,019876
24	24	159,3568	74,20102	6,442156	290	0,549506	0,255866	0,022214
25	25	164,3101	78,29846	7,39143	300	0,5477	0,260995	0,024638
26	26	169,2258	82,36103	8,413205	310	0,54589	0,265681	0,027139
27	27	174,106	86,38675	9,507292	320	0,544081	0,269959	0,02971
28	28	178,9525	90,37415	10,67333	330	0,54228	0,273861	0,032343
29	29	183,767	94,32218	11,91083	340	0,540491	0,277418	0,035032
30	30	188,5507	98,23018	13,21917	350	0,538716	0,280658	0,037769
31	31	193,3046	102,0977	14,59762	360	0,536957	0,283605	0,040549
32	32	198,0299	105,9247	16,04539	370	0,535216	0,286283	0,043366
33	33	202,7272	109,7111	17,56161	380	0,533493	0,288714	0,046215
34	34	207,3975	113,4572	19,14537	390	0,531788	0,290916	0,049091
35	35	212,0412	117,1632	20,79569	400	0,530103	0,292908	0,051989
36	36	216,659	120,8295	22,51159	410	0,528436	0,294706	0,054906
37	37	221,2514	124,4566	24,29205	420	0,526789	0,296325	0,057838
38	38	225,8189	128,045	26,13603	430	0,52516	0,297779	0,060781
39	39	230,3621	131,5954	28,04249	440	0,52355	0,299081	0,063733
40	40	234,8812	135,1084	30,01037	450	0,521958	0,300241	0,06669
41	41	239,3768	138,5845	32,03862	460	0,520384	0,301271	0,069649
42	42	243,8493	142,0245	34,1262	470	0,518828	0,30218	0,072609
43	43	248,2989	145,4291	36,27205	480	0,517289	0,302977	0,075567
44	44	252,7261	148,7988	38,47513	490	0,515768	0,303671	0,078521
45	45	257,1313	152,1343	40,73442	500	0,514263	0,304269	0,081469
46	46	261,5147	155,4364	43,04891	510	0,512774	0,304777	0,08441
47	47	265,8767	158,7057	45,41758	520	0,511301	0,305203	0,087342
48	48	270,2177	161,9429	47,83946	530	0,509845	0,305553	0,090263
49	49	274,5379	165,1485	50,31356	540	0,508404	0,305831	0,093173
50	50	278,8377	168,3233	52,83893	550	0,506978	0,306042	0,096071
51	51	283,1175	171,4679	55,41464	560	0,505567	0,306193	0,098955
52	52	287,3774	174,5829	58,03975	570	0,504171	0,306286	0,101824
53	53	291,6178	177,6689	60,71336	580	0,502789	0,306326	0,104678
54	54	295,839	180,7264	63,43459	590	0,501422	0,306316	0,107516
55	55	300,0413	183,7561	66,20256	600	0,500069	0,30626	0,110338
56	56	304,225	186,7586	69,01642	610	0,498729	0,306162	0,113142
57	57	308,3903	189,7344	71,87533	620	0,497404	0,306023	0,115928
58	58	312,5376	192,6839	74,77849	630	0,496091	0,305848	0,118696

Dari tabel di atas, didapat konsentrasi maksimum B adalah 0,306326 gmol/L pada saat t=53 sekon.

Berdasarkan tabel di atas dibuat grafik hubungan C_B dengan t

Gambar 2.7 Hubungan antara konsentrasi B (C_B) dengan waktu (t)

4. Untuk menghitung panjang lintasan bisbol yang dilempar dari bidang tengah lapangan bisbol ke home plate (lihat gambar 1.1). Asumsikan bahwa outfielder melepaskan bola delapan meter di atas tanah dan bisbol yang memiliki kecepatan awal V₀ yang memiliki sudut θ dengan horizontal. Ingatlah bahwa perjalanan bisbol melalui udara, udara akan menyebabkan gaya gesek pada bola menentang kecepatan bola. Kekuatan tarik dapat ditunjukkan bervariasi dengan kuadrat kecepatan. Keseimbangan gaya pada bola di kedua arah x dan y hasil dalam

dimana k adalah konstanta tarik, m adalah massa bola, a_g adalah accelaration gravitasi, a_y adalah accelaration bersih bola dalam arah y, dan a_x adalah accelaration bersih bola dalam arah x. Perhatikan bahwa kV² adalah gaya gesekan total dan bahwa Vx/V adalah komponen gaya gesekan dalam arah x. Kedua accelaration dari bola dan kecepatan bola yang berhubungan dengan laju perubahan terhadap waktu dari jarak, x dan y, yaitu,

persamaan yang dihasilkan adalah

dimana

pada t=0

Perhatikan, bahwa semua kondisi yang diketahui ditentukan pada satu kondisi waktu (yaitu, t = 0) dan dengan demikian ini merupakan kondisi awal dari masalah.

Untuk menemukan lintasan yang cocok untuk kondisi batas akan mewakili Boundary Value Problem (BVP).

a. Diasusmsikan reaktor Batch non-isotermal yang dioperasikan pada keadaan adiabatik (tidak ada pertukaran panas diantara rekator dengan lingkungan). Reaktor dapat dilihat pada gambar 4.7. Dalam reaktor terdapat reaksi campuran cairan dengan reaksi

A P

dimana r = kC_A dan

C_A adalah konsentrasi A, dan E adalah energi aktivasi dari reaksi, R adalah konstanta gas, dan T adalah temperatur absolut. Dimana reaktor diasumsikan teraduk sempurna, unsteady state kesetimbangan mol komponen A adalah

Karena volum reaktor, V_R adalah konstan dan C_A =n_A/V_R

Unsteady state kesetimbangan energi

Dimana adalah densitas dari campuran reaksi, Cp adalah panas kapasitas rata-rata dari campuran reaksi, dan adalah panas reaksi dalam fungsi temperatur. Jadi untuk dT/dt,

Persamaan ini kira-kira mendekati persamaaan 4.10 yang menjelaskan dimana konsentrasi A dan temperatur dalam sistem akan berubah terhadap waktu. Secara umum, panas reaksi tidak akan berpengaruh besar pada temperatur, sehingga persamaan 4.10 da 4.11 bisa menjadi

dimana T=T₀ dan C_A=C_A0 pada saat t=0. Di bawah ini adalah contoh gabungan dari dua persamaan pada sistem orde pertama. Dua persamaan ini digabungkan karena dC_A/dt adalah fungsi T sementara C_A dT/dt juga dalam fungsi C_A dan T.

8.4. PENUTUP

A. KESIMPULAN

Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana.Metode euler atau disebut juga metode orde pertama karena persamaannya kita hanya mengambil sampai suku orde pertama saja.

Misalnya diberikan PDB orde satu,

= dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x₀) = x₀

Persamaan metode Ueler yaitu :

y_r = y_r-1 + h * f(x_r-1, y_r-1)

Pada metode Heun , solusi dari metode Euler dijadikan sebagai solusi perkiraan awal (prediktor), selanjutnya solusi perkiraan awal diperbaiki dengan metode Heun (Corrector).

Persamaan metode euler yaitu:

B.Soal Metode Euler

1.Gunakan metode Euleruntuk menghitung nilai y pada x = 1
jika:yxdxdy2

2.Tentukan x (2) dengan menggunakan Metode Euler (n = 4) untuk
persamaan diferensial

bila diketahui syarat awal x
(1) = − 4

DAFTAR PUSTAKA

http://alifis.files.wordpress.com/2009/09/bab-v-masalah-nilai-awal-persamaan-diferensial.pdf

http://elista.akprind.ac.id/upload/files/9637_BAB_IIOK.pdf

Riggs., B., J. 1988. An Introduction To Numerical Methods For Chemical Enggineers. Texas Tech University Press, Texas.

Agung prabowo

Jumat, 07 Juli 2017

PDP METODE NUMERIK

Tidak ada komentar:

Posting Komentar