TUGAS
METODE NUMERIK
INTEGRASI
Oleh:
KELOMPOK V
KELAS B
1.
Muhammad Alfin (1407114830)
2.
Hardianti Afriani (1507121075)
3.
Novalia Rohulina
Silalahi (1507117855)
4.
Wahani Sastra
Negara (1507113592)
PROGRAM STUDI TEKNIK KIMIA S1
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS RIAU
2017
BAB V
INTEGRASI
5.1. Pendahuluan
Integrasi numerik adalah suatu cara untuk menghitung luasan daerah
di bawah fungsi yang dimaksud pada selang yang diberikan. Jika suatu fungsi
memiliki luasan yang baku seperti luasan persegi panjang dengan panjang x
lebar, mungkin itu dapat dengan mudah dilakukan. Tetapi umumnya sutu persamaan
fungsi umumnya yaitu fungsi linear,
fungsi kuadrat (polinomial).
Pada bab ini akan dibahas solusi
dari penyelesaian numerik integrasi yang banyak dijumpai. Disajikan beberapa
metode yang biasa digunakan, yaitu
metode trapesium, metode reimann, metode trapezoida, metode simpson dan metode gauss. Contoh
aplikasinya integrasi
dalam teknik kimia:
1.
perhitungan
fugasitas
2.
perhitungan entalpi
3. Perhitungan
luas permukaan
4. Perhitungan
volume padatan
5. Perhitungan
volume reactor
6. Perhitungan
laju panas
7. Perhitungan
properties termodinamik gas dari data PVT
Integral suatu fungsi adalah
operator matematik yang dipresentasikan dalam bentuk:
I =
dan merupakan integral suatu fungsi f (x) terhadap variabel x dengan batas-batas integrasi adalah
dari x = a sampai x = b. Seperti pada Gambar 5.1 dan persamaan (5.1), yang dimaksud dengan integral adalah nilai total
atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f (x) dan sumbu-x, serta antara batas x = a dan x = b. Dalam integral
analitis, persamaan (5.1) dapat diselesaikan menjadi:
dengan F (x) adalah integral dari f (x)
sedemikian sehingga F ' (x)= f
(x).
Sebagai
contoh:
Gambar
5.1. Integral suatu fungsi
Jika
suatu integral tidak dapat atau sukar untuk diselesaikan secara analisis dan
fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis, tetapi secara
numerik dalam bentuk angka maka dapat diselesaikan dengan integral numerik
menggunakan metode-metode berikut seperti :
a. Metode Trapesium
Merupakan salah satu metode integrasi
numerik untuk menghitung luasan kurva f(x) dengan batasan tertentu yang
didekati dengan sebagai luasan trapesium.
b. Metode Rieman
Merupakan luasan yang dibatasi oleh y = f(x) dan sumbu
x dibagi menjadi n bagian pada range
yang akan dihitung. Kemudian dihitung tinggi dari setiap step ke-I yaitu
luas setiap persegi panjang.
c. Metode Trapezoida
Pada metode integral Reimann setiap daerah bagian
dinyatakan sebagai empat persegi panjang dengan tinggi f(xi) dan lebar Δxi, pada
metode trapezoida ini setiap bagian dinyatakan sebagai trapesium.
d. Metode Simpson
Merupakan suatu
cara untuk menghitung aproksimasi luas daerah di bawah fungsi yang dimaksud
pada selang yang diberikan dan digunakan untuk mem-fitting persamaan kuadratik
ke dalam tiga point yang melalui f(x) untuk mengetahui luas area yang berada di
bawahnya.
e. Metode Gauss
Merupakan metode yang digunakan untuk mengoperasikan
nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana
lagi.
Tetapi
yang akan dibahas dalam bab ini adalah metode Trapezoida dan metode Gauss,
adalah sebagai berikut :
5.2 Metode Trapezoidal
Pada
metode Riemann setiap daerah bagian dinyatakan sebagai empat persegi panjang dengan
tinggi f(xi) dan lebar ∆xi.
Pada metode trapezoidal ini setiap bagian dinyatakan sebagai trapesium seperti
gambar berikut:
Gambar
5.2. Pembagian kurva menjadi sejumlah bilah trapesium
Luas trapesium
ke-i (L) adalah :
Li =
Atau
Dan luas
keseluruhan dihitung dengan menjumlahkan luas dari semua bagian trapesium
Sehingga
diperoleh :
Algoritma
Metode Integrasi Trapezoida adalah:
(1)
Definisikan y = f(x)
(2)
Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)
(3)
Tentukan jumlah pembagi n
(4)
Hitung h = (b-a)/n
(5)
Hitung L =
|
Start
|
|
Tentukan batas bawah (a)
Tentukan batas atas (b)
|
|
Hitung h =
|
|
Tentukan jumlah pembagi n
|
|
Definisikan y = f(x)
|
|
Hitung L =
|
|
Finish
|
|
Diperoleh hasil
|
Contoh
Soal:
Soal 1 :
Gunakan aturan trapezoida untuk menghitung
yang nilai fungsinya diberikan dalam tabel
berikut :
Tabel nilai fungsi untuk suatu nilai x yang diberikan.
|
x
|
f(x)
|
|
2,0
|
1,7321
|
|
2,4
|
1,8708
|
|
3,0
|
2,0000
|
|
3,4
|
2,1213
|
|
4,0
|
2,2361
|
Penyelesaian:
Langkah 1 Penentuan bentuk f(x) yaitu y=
Langkah 2 Penentuan batas atas (b) dan batas bawah(a) yaitu b=4 dan a=2
Langkah 3 Penentuan jumlah pembagi yaitu n=5
Langkah 4 Penentuan nilai h yaitu h =
= 0.4
Langkah 5 Perhitungan nilai L yaitu =
= 0,2(15,9524)
= 3,19048
Soal 2 :
Dengan menggunakan aturan Trapezoidal
dengan n = 8 hitunglah nilai
Penyelesaian:
Langkah 1 Penentuan bentuk f(x) yaitu y=
Langkah 2 Penentuan batas atas (b) dan batas bawah(a) yaitu b=2 dan a=0
Langkah 3 Penentuan jumlah pembagi yaitu n=8
Langkah 4 Penentuan nilai h yaitu h =
Langkah 5 Perhitungan nilai L maka:
|
I
|
xi
|
f(xi)
|
ci
|
ci .
f(xi)
|
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
|
1
|
0,25
|
0,0625
|
2
|
0,125
|
|
2
|
0,5
|
0,25
|
2
|
0,5
|
|
3
|
0,75
|
0,5625
|
2
|
1,125
|
|
4
|
1,00
|
1,00
|
2
|
2
|
|
5
|
1,25
|
1,5625
|
2
|
3,125
|
|
6
|
1,5
|
2,25
|
2
|
4,5
|
|
7
|
1,75
|
3,0625
|
2
|
6,125
|
|
8
|
2,00
|
4,00
|
1
|
4
|
|
Jumlah
|
21,5
|
|||
Jadi
Jika kita bandingkan dengan nilai eksaknya
yaitu
Soal 3 :
Menghitung panas
dibutuhkan dalam rekayasa petro maupun oleokimia. Aplikasinya cukup sederhana
namun membutuhkan suatu penghitungan. Permasalahan yang sering ditemukan adalah
dalam menentukan jumlah dari panas yang dibutuhkan untuk meningkat temperatur
dari suatu material. Karakteristik yang dibutuhkan dalam menentukannya adalah
kapasitas panas c. Parameter ini merepresentasikan jumlah panas yang dibutuhkan
untuk meningkatkan tiap satuan massa terhadap satuan temperatur. Jika c konstan,
dibutuhkan data ΔH (dalam kalori), sehingga dapat dihitung :
ΔH = m c ΔT
Dimana :
c = kapasitas
panas (cal/g °C)
m = massa (g)
T
= perubahan temperatur (°C)
Sebagai
contoh, jumlah panas yang dibutuhkan untuk meningkatkan suhu 20 g air dari 5 hingga
10 °C sama dengan
ΔH
= 20(1) (10 – 5) = 100 cal
Dimana
kapasitas panas dari air 1 cal/g°C. Perubahan temperatur bisa diabaikan jika ΔT
sangat kecil. Namun untuk perubahan temperatur yang besar, kapasitas panas
tidak konstan, karena kapasitas panas dipengaruhi temperatur. Sebagai contoh,
kapasitas panas dari material dapat meningkat dengan temperatur
Dalam kasus ini, panas yang dibutuhkan
harus dihitung untuk meningkatkan suhu 1000 g material dari -100 ke 200 °C.
Penyelesaian:
Persamaan (4.20) merupakan suatu cara
untuk menghitung nilai rata-rata dari c(T)
Kemudian
substitusikan persamaan (4.20) ke dalam persamaan (4.21) sehingga diperoleh
Dimana
ΔT = T2 – T1
Hasil
yang diperoleh pada Tabel 4.2 menggunakan metoda
trapezoidal. Terlihat bahwa
metoda trapezoidal juga
mampu memperkirakan total panas
yang sangat akurat. Namun,
langkah kecil (<
10°C) diperlukan untuk akurasi
lima poin.
Contoh ini adalah ilustrasi
yang baik mengapa metoda
simpson sangat
populer. Cara ini mempermudah
penggunaan dengan kalkulator atau komputer. Disamping
itu, biasanya cukup
akurat untuk ukuran langkah
yang relatif besar dan
tepat untuk
polinomial urutan
ketiga atau kurang.
Tabel
4.2. Penyelesaian
kasus dengan metoda trapezoidal
|
Step size (°C)
|
ΔH
|
εt (%)
|
|
300
|
96,048
|
125
|
|
150
|
43,029
|
0,7
|
|
100
|
42,864
|
0,3
|
|
50
|
42,765
|
0,07
|
|
25
|
42,740
|
0,018
|
|
10
|
42,7333
|
<0,01
|
|
5
|
42,7323
|
<0,01
|
|
1
|
42,73201
|
<0,01
|
|
0,05
|
42,73200003
|
<0,01
|
Soal 4 :
Tentukan fugasitas dari gas N2 pada suhu 00C
dan tekanan 800 atm dari tabel di bawah ini dengan menggunakan rumus sebagai
berikut (gunakan metoda trapezoidal dan metoda simpson dalam memecahkan
permasalahan)!
Tabel 4.3.
Compressibility Factor of N2
|
Pressure (atm)
|
Temperature 00C
|
|
0
10
50
100
200
300
400
600
800
|
1,000
0,996
0,985
0,984
1,036
1,134
1,256
1,524
1,798
|
Sebagaimana,
z adalah faktor kompresibilitas (PV/RT), P adalah tekanan, R adalah konstanta
gas, T adalah temperatur absolut dan V adalah volum spesifik.
Penyelesaian:
Jika
data yang diketahui nilai intervalnya sama, maka dapat diaplikasikan dengan
metode simpson. Sehingga penyelesaian permasalahannya adalah sebagai berikut (Purcell
dkk,2007) :
|
Pressure (atm)
|
Temperature 00C
|
|
0
200
400
600
800
|
1,000
1,036
1,256
1,524
1,798
|
5.3 Metoda Simpson
Metode
Simpson merupakan pengembangan metode integrasi trapezoidal, hanya saja daerah
pembagiannya bukan berupa trapezium tetapi berupa dua buah trapezium dengan
menggunakan pembobot berat di titik tengahnya seperti terlihat pada gambar
berikut ini, atau dengan kata lain metode ini adalah metode rata-rata dengan
pembobot kuadrat
Gambar
5.3.
Kurva Polinom
Bila menggunakan trapesium luas bangun di atas adalah:
Pemakaian aturan simpson dimana bobot fi sebagai titik tengah
dikalikan dengan 2 untuk menghitung luas bangun diatas dapat dituliskan dengan:
Perhatikan gambar berikut:
Gambar
5.4. Pembagian kurva menjadi sejumlah bilah trapesium
Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang
dibatasi fungsi y = f(x)
dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:
Atau dapat dituliskan dengan:
(4.13)
Dibandingakan dengan hasil perhitungan kalkulus, maka
kesalahannya sangat kecil.
Catatan:
- Metode ini akan mendapatkan hasil yang baik bila diambil n genap
- Metode ini sangat terkenal karena kesalahannya sangat kecil, sehingga menjadi alternatif yang baik dalam perhitungan integral dan penerapannya khususnya di bidang teknik.
Algoritma Metode Integrasi Simpson adalah :
(1) Definisikan y = f(x)
(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)
(3) Tentukan jumlah pembagi n
(4) Hitung h = (b-a)/n
(5) Hitung L=
|
Start
|
|
Definisikan y = f(x)
|
|
Tentukan jumlah pembagi n
|
|
Diperoleh hasil
|
|
Finish
|
|
Hitung h =
|
|
Hitung L =
|
|
Tentukan batas bawah (a)
Tentukan batas atas (b)
|
Contoh Soal :
Soal 1 :
Gunakan
aturan Simpson untuk menyelesaikan integral
bila diketahui nilai-nilai x dan f (x) adalah
sebagai berikut :
Tabel
daftar sejumlah nilai x yang berkorespondensi dengan f (x)
|
X
|
f(x)
|
|
2,0
|
1,7321
|
|
2,4
|
1,8708
|
|
3,0
|
2,0000
|
|
3,4
|
2,1213
|
|
4,0
|
2,2361
|
Dari
tabel diatas diketahui h = 0,5. Oleh karena itu penggunaan metode Simpson
memberikan :
= (0,4/3)[1,7324 + 4(1,8708+2,1213) + 2(2,00 +
2,2361)]
= (4/3) [23,9366]
= 3,894 (dibulatkan keempat angka signifikan)
Soal
2 :
Tentukan fugasitas dari gas N2 pada suhu 00C
dan tekanan 800 atm dari tabel di bawah ini dengan menggunakan rumus sebagai
berikut (gunakan metoda trapezoidal dan metoda simpson dalam memecahkan
permasalahan)!
Tabel 4.3.
Compressibility Factor of N2
|
Pressure (atm)
|
Temperature 00C
|
|
0
10
50
100
200
300
400
600
800
|
1,000
0,996
0,985
0,984
1,036
1,134
1,256
1,524
1,798
|
Sebagaimana,
z adalah faktor kompresibilitas (PV/RT), P adalah tekanan, R adalah konstanta
gas, T adalah temperatur absolut dan V adalah volum spesifik.
Penyelesaian:
Dari
tabel di atas diketahui bahwa interval data yang diketahui jaraknya tidak
teratur.
Jika
data yang diketahui nilai intervalnya sama, maka dapat diaplikasikan dengan
metode simpson. Sehingga penyelesaian permasalahannya adalah sebagai berikut:
|
Pressure (atm)
|
Temperature 00C
|
|
0
200
400
600
800
|
1,000
1,036
1,256
1,524
1,798
|
5.4 Penutup
Integral
dapat diselesaikan dengan menggunakan metode trapesium, metode reimann, metode trapezoida, metode simpson dan metode
gauss. Metode Simpson hanya dapat digunakan bila perbedaan nilainya sama
sedangkan metode trapezoidal dapat digunakan meskipun perbedaan nilainya tidak
sama. Tetapi, metode Simpson menghasilkan nilai yang lebih akurat daripada
metode Trapezoidal.
5.4 Soal-soal Latihan
2. Gunakan
aturan Trapezoidal untuk menyelesaikan integral
bila diketahui nilai-nilai x dan f (x) adalah
sebagai berikut :
Tabel
daftar sejumlah nilai x yang berkorespondensi dengan f (x)
|
X
|
f(x)
|
|
2,0
|
1,7321
|
|
2,4
|
1,8708
|
|
3,0
|
2,0000
|
|
3,4
|
2,1213
|
|
4,0
|
2,2361
|
3. Sebuah aliran keluar dari reaksi kimia pada suatu reaktor
menghasilkan data seperti dibawah ini:
|
T
(min)
|
0
|
4
|
6
|
8
|
9
|
12
|
16
|
20
|
|
C
(mol/L)
|
5
|
15
|
20
|
35
|
40
|
55
|
60
|
65
|
Dimana Q =
100 m3 / menit
Tentukan
berapa massa produk yang keluar dari t=0
sampai pada t=20. Gunakan metode integrasi simpson untuk
menyelesaikan persolan ini.
DAFTAR
PUSTAKA
Budi Nur Iman. 1999. Modul Metode Numerik.
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya. ITS
Kubice,
Milan. et al, 2005. Numerical Methods and Algorithms. Praha
Purcell,
Varberg, Rigdon. 2007. Calculus 9th.
Prentice Hall.
Rice, G.R.
Doung, D.D., 1995. Applied Mathematics
and Modeling for Chemical Engineers. Library of Congress Cataloging-in-Publication
Data, United State of America
Riggs,J.B.1998.
An Introduction to Numerical Method for
Chemical Engineers. Texas : Texas Tech University Press
Tidak ada komentar:
Posting Komentar