MAKALAH
METODE NUMERIK
BAB
VI
INTERPOLASI
DISUSUN
OLEH :
AGUNG
PRABOWO
AKHMAD
RAMADHAN
HENDRI
KOMANG
PRISCILLA
VIDYA MERARIN
PROGRAM
STUDI SARJANA TEKNIK KIMIA
FAKULTAS
TEKNIK
UNIVERSITAS
RIAU
2017
KATA PENGANTAR
Metode
Numerik merupakan mata kuliah
wajib Semester IV pada program studi S1 Teknik Kimia dengan beban 3
SKS. Setelah mengikuti perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan dapat
menyelesaikan masalah matematis teknik kimia secara numerik.
Makalah metode interpolasi ini disusun untuk memenuhi nilai tugas pada
semester IV mata kuliah Metode Numerik. Makalah ini disusun berdasarkan hasil
studi pustaka dan diskusi kelompok.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih
jauh dari kesempurnaan. Untuk itu penulis mengharapkan saran-saran yang
sifatnya membangun sebagai bahan pertimbangan untuk penulisan makalah di masa
yang akan datang. Semoga makalah ini dapat memberikan sumbangan bagi
perkembangan pendidikan dan bermanfaat bagi kita semua terutama bagi mahasiswa
Teknik Kimia, Universitas Riau.
Pekanbaru,
Mei 2017
Penulis
DAFTAR ISI
Halaman
Kata
Pengantar..............................................................................................
i
Daftar Isi........................................................................................................ ii
BAB VI
INTERPOLASI............................................................................................
1
6.1 Pendahuluan............................................................................................
1
6.2 Interpolasi Linier................…………………......................................... 2
6.3 Interpolasi
kuadratik............................................................................... 6
6.4 Penutup……………………………....................................................... 11
Daftar Pustaka
BAB VI
INTERPOLASI
6.1. Pendahuluan
Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara
2 titik yang nilai fungsi pada
ke-2 titik tersebut sudah diketahui. Interpolasi memegang peranan yang sangat penting dalam metode numerik. Fungsi yang tampak sangat rumit akan menjadi sederhana bila dinyatakan dalam polinom interpolasi. Sebagian besar metode integrasi numerik, metode persamaan diferensial biasa dan metode turunan numeric didasarkan pada polinom interpolasi sehingga banyak yang menyatakan bahwa interpolasi merupakan pokok bahasan yang fundamental dalam metode numerik.
Apabila harga suatu f(x) ingin
kita ketahui, tetapi x tidak terdapat dalam tabel, tetapi masih dalam interval
[x1,y1], maka harga f(x) tersebut dapat ditaksir dengan
f(x) yang diketahui disekitarnya, penaksiran ini disebut interpolasi.
Aproksimasi atau dikenal sebagai interpolasi merupakan salah satu usaha untuk
menyajikan data berbentuk grafis menjadi kalimat matematis. Secara umum
aproksimasi harus mendapatkan suatu fungsi yang melewati semua titik yang
diketahui. Karena harus melewati semua titik yang ada, maka ada banyak fungsi
yang memenuhi, kecuali jika fungsi tersebut mempunyai syarat tertentu.
x = xi f(xi) = yi
Sedangkan secara khusus
aproksimasi tidak mensyaratkan melewati semua titik. Walaupun demikian solusi
yang didapat haruslah merupakan hasil terbaik yang mendekati semua titik yang
diketahui. Aproksimasi secara khusus lebih dikenal dengan istilah regresi.
x = xi f(xi) ≈
yi
Metode iinterpolasi pada umumnya terbagi
atas :
1. Interpolasi Linier
2. Interpolasi Kuadrat
Untuk penguraian dari masing-masing metode tersebut
dapat dijelaskan sebagai beikut :
Bentuk paling sederhana dari interpolasi adalah
menghubungkan dua buah titik data dengan garis lurus. Metode ini disebut dengan
interpolasi linier yang dapat dijelaskan dengan Gambar 6.1.
Gambar 6.1 Interpolasi linier
Diketahui nilai suatu fungsi di titik x0 dan x1, yaitu f (x0) dan f (x1). Dengan
metode interpolasi linier akan dicari nilai fungsi di titik x, yaitu f1(x). Indeks
1 pada f1(x) menunjukkan bahwa interpolasi
dilakukan dengan interpolasi polinomial orde satu.
Dari dua segitiga sebangun ABC dan ADE seperti
tampak dalam Gambar 6.1 terdapat hubungan berikut:
(6.1)
Persamaan (6.1) adalah rumus interpolasi linier, yang
merupakan bentuk interpolasi polinomial orde satu. Suku [f (x1) -f (x0)]/(x1-x0) adalah kemiringan garis yang menghubungkan dua titik
data dan merupakan perkiraan beda hingga dari turunan pertama. Semakin kecil interval antara titik data, hasil perkiraan akan semakin
baik.
Urutan
penyelesaian interpolasi linear dapat dinyatakan dalam diagram alir berikut ini
:
Gambar 6.2 Algoritma penyelesaian Interpolasi Linier
Contoh soal:
Soal 1 :Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi linier
berdasar data ln 1 = 0 dan ln 6 = 1,7917595. Hitung juga nilai tersebut
berdasar data ln 1 dan ln 4 = 1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang
diperoleh, dihitung besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln 2 =
0,69314718).
Penyelesaian:
Dengan menggunakan persamaan (6.1), dihitung dengan interpolasi linier nilai
ln pada x = 2 berdasar nilai ln di x0 = 1 dan x1 = 6.
f1(2) = 0 + 
(2 - 1) = 0,3583519.
(2 - 1) = 0,3583519.
Besar kesalahan adalah:
Et = 
´ 100 %
= 48,3 %.
´ 100 %
= 48,3 %.
Apabila digunakan interval yang lebih kecil, yaitu nilai x0 = 1 dan x1 = 4, maka:
f1(2) = 0 + 
(2 - 1) = 0,46209813.
(2 - 1) = 0,46209813.
Besar kesalahan adalah:
Et = 
´ 100 % = 33,3 %.
´ 100 % = 33,3 %.
Dari contoh nampak bahwa dengan menggunakan interval yang
lebih kecil didapat hasil yang lebih baik (kesalahan lebih kecil). Gambar 5.2, menunjukkan prosedur hitungan dalam contoh secara grafis.
 |
Gambar 6.3 Interpolasi linier mencari ln 2
Soal 2 :
Terdapat dua
data untuk steam superheated:
|
Tekanan (Psia)
|
Entalpi (Btu/lb)
|
|
|
|
600°F
|
700°F
|
|
440
|
1304,2
|
1361,1
|
|
500
|
1299,1
|
1357,7
|
Gunakan
interpolasi linear, hitung entalpi steam superheated pada tekanan 480 psia dan
suhu 650°F.
Penyelesaian:
Gunakan
interpolasi linear, kemudian itung h(650°F,
440 Psia) dan h(650°F, 500 Psia).
Kemudian, gunakan
nilai tersebut untuk menghitung h(650°F,
480 Psia).
Untuk
mengurangi kesalahan yang terjadi, maka perkiraan dilakukan dengan menggunakan
garis lengkung yang menghubungkan titik-titik data. Apabila terdapat tiga titik data, maka
perkiraan dapat dilakukan dengan polinomial orde dua. Untuk maksud tersebut
persamaan polinomial orde dua dapat ditulis dalam bentuk:
f2(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1) (6.2)
Meskipun tampaknya persamaan (5.2) berbeda dengan persamaan (6.1), tetapi sebenarnya kedua persamaan adalah
sama.
Hal ini dapat ditunjukkan dengan mengalikan suku-suku
persamaan (6.2) sehingga menjadi:
f2(x) = b0
+ b1 x – b1 x0 + b2x2
+ b2 x0 x1
– b2 xx0 – b2 xx1
atau
f2(x) = a0 + a1 x + a2x2
dengan
a0 = b0 – b1 x0
+ b2 x0 x1
a1 = b1
– b2 x0 – b2 x1
a2 = b2
Selanjutnya untuk keperluan interpolasi, persamaan
polinomial ditulis dalam bentuk persamaan (6.2). Berdasarkan titik data yang ada kemudian
dihitung koefisien b0, b1,dan b2. Berikut ini diberikan prosedur untuk menentukan
nilai dari koefisien-koefisien tersebut. Koefisien b0 dapat dihitung dari persamaan (6.2), dengan memasukan nilai x = x0.
f (x0) = bo + b1 (xo
– x0) + b2 (x0 – x0)
(x0 – x1)
bo= f (x0) (6.3)
Bila persamaan (5.3) disubstitusikan ke dalam persamaan (5.2), kemudian dimasukkan ke dalam nilai x
= x1, maka akan
diperoleh koefisien b1:
f (x1)
= f (x0) + b1(x1 – x0) + b2(x1 – x0)(x1
– x1)
b1 = 
(6.4)
(6.4)
Bila persamaan (6.3) dan persamaan (6.4) disubstitusikan ke dalam persamaan (5.2) dan nilai x = x2, maka
akan diperoleh koefisien b2:
f (x2) = f (x0)
+ (x2 – x0) + b2(x2 – x0)(x2
– x1)
(x2 – x0) + b2(x2 – x0)(x2
– x1)
b2(x2 – x0)(x2
– x1) = f (x2)
– f (x0) – [(x2 – x1) + (x1
– x0)]
[(x2 – x1) + (x1
– x0)]
= f (x2) – f (x0)
– (x2 – x1) – f (x1) + f (x0)
(x2 – x1) – f (x1) + f (x0)
= f (x2) – f (x1)
– (x2 – x1)
(x2 – x1)
Atau:
b2 = 
b2 = 
(6.5)
(6.5)
Dengan
memperhatikan persamaan (6.2), persamaan (6.3), persamaan (6.4) dan persamaan
(6.5) terlihat bahwa dua suku pertama dari persamaan (6.2) adalah ekivalen
dengan interpolasi linier dari titik x0
ke x1 seperti yang
diberikan oleh persamaan (6.1).
Urutan
penyelesaian interpolasi kuadrat dapat dinyatakan sebagai mana terlihat pada
gambar 6.5
Contoh soal:
Soal 1 :
Dicari nilai ln 2 dengan metode polinomial orde dua
berdasar data nilai ln 1 = 0 dan nilai dari ln 6 = 1,7917595. Hitung juga nilai
tersebut berdasar data ln 1 dan ln 4 = 1,3862944. Untuk membandingkan hasil
yang diperoleh, dihitung pula besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln 2
= 0,69314718).
Penyelesaian:
x0 = 1 ® f (x0)
= 0
a x1 = 4 ® f (x1)
= 1,3862944
x2 = 6 ® f (x2)
= 1,7917595
Interpolasi
polinomial dihitung dengan menggunakan persamaan (6.2), dan koefisien b0, b1, dan b2,
dihitung dengan persamaan (6.3), persamaan (6.4) dan persamaan (6.5).
Dengan
menggunakan persamaan (6.3) diperoleh nilai b0,
yaitu (b0 = 0), koefisien b1 dapat dihitung dengan
persamaan (6.5):
b1 =
b1 = = 0,46209813.
= 0,46209813.
Persamaan (5.5) digunakan untuk menghitung koefisien b2:
b2 =
b2 = 
= –0,051873116.
= –0,051873116.
Nilai-nilai tersebut disubstitusikan ke persamaan (5.2):
f2(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1)
f2(x) = 0 + 0,46209813(x – 1) + (–0,051873116)(x – 1)(x – 4)
Untuk x = 2,
maka diperoleh nilai fungsi interpolasi:
f2(2) = 0 + 0,46209813(2 – 1) + (–0,051873116)(2 – 1)(2 –
4)
=0,56584436.
Besar kesalahan
adalah:
Et = 
´ 100 % = 18,4 %.
´ 100 % = 18,4 %. |
Gambar 6.4 Interpolasi
polinomial orde 2
Gambar 6.5 Algoritma
penyelesaian interpolasi kuadratik
Soal 2 :
Gunakan
interpolasi kuadrat untuk menghitung nilai entalpi steam saturated pada suhu
252°F dari data pada Tabel 6.1
Penyelesaian:
Karena suhu
252°F berada diantara data pada suhu 280°F dan 240°F, data yang digunakan
adalah:
|
Temperatur (°F)
|
Entalpi (Btu/lb)
|
|
240
|
1160,6
|
|
260
|
1167,4
|
|
280
|
1173,8
|
Kemudian
gunakan persamaan berikut:
1. Diberikan data seperti tabel dibawah:
|
X
|
f(x)
|
|
5
|
2,010
|
|
6,5
|
2,443
|
|
8
|
2,897
|
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan f(x) pada saat
x = 7
Penyelesaian:
Karena Δx sama, maka digunakan rumus:
2,592
2. Diberikan data faktor kompessibilitas (z) Nitrogen sebagai berikut:
|
Tekanan (atm)
|
0oC
|
|
300
|
1,134
|
|
400
|
1,256
|
|
600
|
1,524
|
Berapakah faktor kompressibilitas Nitrogen pada tekanan 500 atm
dan 0oC?
Penyelesaian:
Pada soal diatas Δx berbeda, sehingga digunakan persamaan
Untuk
mencari 
menggunakan
eliminasi gauss, didapat
menggunakan
eliminasi gauss, didapat |
1
|
300
|
90000
|
1,134
|
1
|
300
|
90000
|
1,134
|
|
|
1
|
400
|
160000
|
1,256
|
0
|
100
|
70000
|
0,122
|
|
|
1
|
600
|
360000
|
1,524
|
0
|
0
|
60000
|
0,024
|
|
|
1
|
300
|
90000
|
1,134
|
c=
|
4E-07
|
|||
|
0
|
100
|
70000
|
0,122
|
b=
|
0,00094
|
|||
|
0
|
200
|
200000
|
0,268
|
a=
|
0,816
|
= 0,816 = 9,4 x 10-4
4 x 10-7
Maka,
0,816 + 9,4 x 10-4 x 500 + 4 x 10-7
x 250000
= 1,386
6.4
PENUTUP
6.4.1
KESIMPULAN
1. Interpolasi
adalah suatu cara untuk mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah
diketahui.
2. Di dunia
nyata, interpolasi dapat digunakan untuk memperkirakan suatu fu ngsi, yang mana
fungsi tersebut tidak terdefinisi dengan suatu formula, tetapi didefinisikan
hanya dengan data-data atau tabel, misalnya tabel dari hasil percobaan.
3. Ada
berbagai macam interpolasi berdasarkan fungsinya, di antaranya adalah
interpolasi linier, interpolasi kuadrat, dan interpolasi polinomial
DAFTAR
PUSTAKA
Budi
Nur Iman. 1999. Modul Metode Numerik. Politeknik Elektronika Negeri Surabaya.
ITS
Chapra, S.C., and Canale, R.P.
1998, Numerical Methods for
Engineers . McGraw-Hill.
Kubicek, Milan. et al. 2005.,
Numerical Methods And Algorithms. Praha
Mark E. Davis. 2001., Numerical
Methods & Modeling for Chemical Engineers. John Miley and Sons.
California Isnstitute of Technology.
Nirwana,C.O.W.,2009.
Matematika teknik kimia. Universitas Brawijaya Fakultas Teknik jurusan Teknik
kimia, Malang.
Rice,G.R.,
Doung,D.D.,1995.Applied Mathematics and
Modeling for Chemical Engineers. Library
of Congress Cataloging-in-Publication Data, United State of America.
Riggs,
B.J.,1988. An introduce to numerical
methods for chemical engineers. Texas Tech Unviversity Press, Texas.
Smith, M.J.,
Ness, V.C.H., Abbott, M.M., 2001. Chemical
Engineering Thermodynamics. Mc Graw Hill, Singapore.
Steven
C. Chapra & Raymond P. Canale, Metode
Numerik untuk Teknik dengan Penerapan pada Komputer Pribadi, UI-Press,
Jakarta, 1991.
Suryadi H.S., Pengantar Metode Numerik, Seri Diktat
Kuliah, Gunadarma, 1990.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar