SPNL METODE NUMERIK

MAKALAH METODE NUMERIK

“PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR DENGAN METODE NUMERIK”

DISUSUN OLEH :

KELOMPOK III

KELAS B

1. ANNISA AFRILLA ADRAF                 (1407114583)

2. HERLILI PERONIKA                            (1507113757)

3. M. RESKI                                                  (1507120384)

4. SYARIFAH SAFIRA SALBILA                        (1507113171)

PROGRAM SARJANA TEKNIK KIMIA

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS RIAU

2017

BAB III

PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR

DENGAN METODE NUMERIK

3.1. Pendahuluan

Sebuah sistem persamaan yang salah satu persamaannya tidak memuat bentuk linear disebut persamaan non linear. Dalam usaha mendapatkan persamaaan matematika yang menjabarkan model dari suatu persoalan nyata, sering solusi yang dicari berupa suatu nilai variabel x sedemikian rupa, sehingga terpenuhi persamaan f (x) = 0 yang digunakan dalam model. Untuk beberapa kasus, melalui faktorisasi f(x) = 0 dapat diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan, namun bentuk yang lebih rumit telah mampu memberikan solusi melalui analisis matematik.

Apa yang dimaksud dengan menentukan x hingga terpenuhi persamaan f(x) = 0 ? secara geometri ini berarti mencari suatu titik hal mana f(x) tepat memotong sumbu x, sehingga f(x) = 0. jika dianggap f(x) sesungguhnya memotong sumbu x, maka dapat dicari suatu interval [a,b], sedemikian rupa sehingga f(a) dan f(b) mempunyai tanda berbeda.

Gambar 3.1 Grafik non linier (Anonim, 2010)

Dengan pembatasan interval ini, secara cermat dapat dicari x =  yang memberikan nilai f () = 0 sebagai berikut :

1.         bagi dua interval [a,b] dan evaluasi nilai f(x) pada titik tengah interval.

2.         Apabila f(m) = 0 berarti x = m, bila tidak sama dicari posisi nilai m apakah berada pada interval [a,m] atau interval [m,b] ; yaitu dengan memeriksa perbedaan tanda :

·           jika f (a) dan f(m) berbeda tanda berarti  di [a,m]

·           jika f(a) dan f(m) mempunyai tanda sama berarti  di [n,b] proses pembagian interval dapat diulang sampai ditemukan nilai  yang memberikan f() = 0.

Pada bab ini dibahas solusi dari persamaan non linear yang banyak dijumpai dalam formulasi kasus-kasus fisika, yaitu pencarian akar persamaan (finding roots). Disajikan beberapa metode yang biasa digunakan, dan inti pembahasan terletak beberapa metode komputasi numerik yang akan dibahas, yaitu metode Secant, metode Newton Raphson, dan cara menangani berbagai kasus yang disertakan

3.2. Metode Newton-Raphson

Metoda ini adalah salah satu metoda penyelesaian sistem persamaan nonlinier, metoda ini terdiri dari beberapa langkah yaitu : penurunan secara parsial, penyusunan, menghitung nilai  dan , dan proses pengulangan. Metode ini mempunyai beberapa kekurangan diantaranya, sulitnya menentukan turunan parsial untuk fungsi tertentu, langkah dan pengerjaan yang panjang.

Misalkan ada 2 persamaan non linier dengan 2 variabel, misalkan fungsi u(x,y) dan v(x,y), maka, rumus iterasinya:

           

dan

Pembuktian rumus:

Perhatikan gradien kemiringan suatu kurva

Gambar 3.4. Gradien suatu kurva (El-Said, 2008)

Dari gambar diatas, kemiringan kurva dapat didekati dengan:

                                           (3.3)

Atau dalam bentuk lain ditulis:

                                           (3.4)

atau

                                           (3.5)

Maka untuk 2 persamaan non linier dengan 2 variabel misal u(x,y) dan v(x,y), maka analog seperti diatas:            

dan

      

Karena persoalan mencari akar, maka u_r+1 = 0 dan v_r+1 = 0.

Dengan sedikit manipulasi aljabar, kedua persamaan terakhir ini menjadi

Dan

       

Terbukti!

Penyebut dari kedua persamaan tersebut disebut determinan jacobi.

Urutan penyelesaian system persamaan non-linear menggunakan metode Newton adalah sebagai berikut :

Contoh Soal :

Soal 1 :

Misalkan diketahui sistem persamaan non linier berikut:

Hitung nilai .

Penyelesaian

a.    Kita buat turunan parsial dari fungsi pertama

Turunan parsial terhadap  adalah

Turunan parsial terhadap  adalah

b.    Kita buat turunan parsial dari fungsi kedua

Turunan parsial terhadap  adalah

Turunan parsial terhadap  adalah

  Kita susun persamaan nonlinier kembali menjadi,

Kita subsitusikan turunan parsial diatas, menjadi

a.    Kita masukkan nilai perkiraan, awal misal , maka di dapat nilai  dan , yaitu:

b.    Kemudian kita gunakan nilai  dan  untuk di subtitusikan kedalam nilai  sementara, dan nilai  kita masukkan nilai perkiraaan. Setelah itu kita masukkan  sementara ke persamaan  dan , begitu seterusnya

c.    Setelah melakukan proses pegulangan diatas, didapat nilai , yaitu

Soal 2 :

Suatu kondisi reaksi menggambarkan reaksi kompleks untuk fase liquid seperti reaksi berikut:

Dimana

r₁ = k₁ C_A (gmol/liter sekon)                                                                     (3.17)

                                                                                              (3.18)

                                                                                                 (3.19)

                                                                                                 (3.20)

Dimana

Reaktor tangki berpengaduk digunakan untuk suatu sistem reaksi seperti pada gambar dibawah. Volume reaktor (V_R) adalah 100 liter dan laju alir umpan Q sebanyak 50 liter/sec dengan konsentrasi komponen A = 1 mol/liter. Reaktor tangki berpengaduk di atur pada kondisi steady state dan sistem diasumsikan berada pada kondisi isotermal. Neraca massa dari sistem reaksi tersebut yaitu:

                        Keluaran = Masukan   + Yang terbentuk - Yang bereaksi

(Komponen A) C_AQ = C_AoQ                + V_R(rs)             - V_R(r₁ + r₂)              (3.21)

(Komponen B) C_BQ = 0                       + V_R(2r1)           - V_R(r4)                       (3.22)

(Komponen C) C_CQ = 0                       + V_{R(r2 + r4)}        - V_R(r3)                       (3.23)

(Komponen D) C_DQ = 0                      + V_R(r4)             -  0                            (3.24)

Tahap selanjutnya susun persamaan nonlinear seperti dibawah ini:

                (3.25)

 = 0                                               (3.26)

                                             (3.27)

                                                              (3.28)

Selanjutnya laju alir masing-masing komponen dapat dicari dengan menggunakan metode Newton.

Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson

·           Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F¹(x) = 0 sehingga nilai penyebut dari       sama dengan nol.

Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga.

·           Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner.

Gambar 3.2  GrafikPendekatan Newton Raphson, dg. Titik pendekatan

berada diantara 2 titik puncak (El-Said, 2008)

·           Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda.

Gambar 3.4 Grafik hasil tidak konvergen (Alifis, 2008)

Penyelesaian Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson

1.      Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut harus di geser sedikit, x_i = x_i       dimana   adalah     konstanta yang ditentukan dengan demikian           dan metode newton raphson tetap dapat berjalan.

2.      Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson.

3.3       Metode Secant

Masalah potensial dalam implementasi metode Newton adalah evaluasi pada turunan. Metode Secant diperoleh dari metode Newton dengan cara menggantikan turunan f’(x) dengan beda hingga terbagi. Bila turunan fungsi f’(x) sulit ditemukan, metode newton tidak dapat dipakai. Solusinya, bahwa sebetulnya f’(x) pada hakekatnya merupakan suatu slope atau gradien.

 )(Forward) atau                                                 (3.12)

 (backward)                                                        (3.13)

Jika diambil persamaan backward untuk disubstitusikan pada persamaan forward iteratifnya menjadi:

                                                                            (3.14)

Atau bisa dituliskan dalam bentuk

   i = 1,2,3,...                                (3.15)

Secara geometri, dalam metode Newton xi+1 merupakan perpotongan sumbu x dengan garis singgung di xi, sedangkan dalam metode Secant xi+1 adalah perpotongan sumbu x dengan talibusur kurva f(x) yang berpadanan terhadap xn+1 dan xn. Metode Secant memerlukan dua tebakan awal, xi–1 dan xi, tetapi tanpa perhitungan turunan.

Dapat diperlihatkan metode Secant lebih lambat dibandingkan metode Newton Raphson, tetapi menjadi pilihan bilamana kerja penghitungan suatu nilai f’(x) lebih lama daripada ½ kali kerja penghitungan nilai f(x). Algoritmanya serupa dengan metode Newton.

Contoh soal :

Soal 1:

Using x=1 as the starting point,find a root of the following

quation by hand to three significant figure :

f(x) = X² e² – 1 = 0

Penyelesaian :

Langkah 1 : ubah bentuk PNLT tersebut menjadi f(x_i) dan f(x_i-1)

Langkah 2 : akar PNLT dihitung dengan rumus xi+1 = xi - ,

                   i = 1, 2, 3, …

Dan x1 serta x ditentukan sembarangan.

Langkah 3 : nilai x dari PNLT tersebut adalah ketika x_i+1 ⸗ x_i

Jawab :

I	Xi	f(x)
0	1	1.718281828
1	2	28.5562244
2	0.93597565	1.233665626
3	0.887932922	0.915952268
4	0.749428056	0.18831715
5	0.713582011	0.039423463
6	0.704090841	0.002397921
7	0.703476155	3.35615E-05
8	0.70346743	2.91886E-08
9	0.703467422	3.55493E-13
10	0.703467422	0

Soal 2 :

C = Cin (1-exp (-0,05t) + Co exp (-0,05t)

F(t) = 10 (1-exp (-0,05t) + exp (0,05)-7

Hitung lah dengan menggunakan metode Secant :

Penyelesaian :

Langkah 1 : ubah bentuk PNLT tersebut menjadi f(x_i) dan f(x_i-1)

Langkah 2 : akar PNLT dihitung dengan rumus xi+1 = xi - ,

                   I = 1, 2, 3, …

Dan x1 serta x ditentukan sembarangan.

Langkah 3 : nilai x dari PNLT tersebut adalah ketika x_i+1 ⸗ x_i

Jawab :

I	t	f(t)
0	1	-5.5611
1	2	-5.1435
2	14.319	-1.3985
3	18.9195	-0.4947
4	21.4375	-0.0813
5	21.9326	-0.0059
6	21.9717	-8E-05
7	21.9722	-8E-08
8	21.9722	-1E-12
9	21.9722	0
10	21.9722	0

Soal 3 :

Diketahui suatu reaksi  :

2CO + O₂ = 2 CO₂

NCO = 2-X

NO₂ = X

NN₂ = 3.76

Hitung dengan Menggunakan Secant !

Penyelesaian :

Langkah 1 : ubah bentuk PNLT tersebut menjadi f(x_i) dan f(x_i-1)

Langkah 2 : akar PNLT dihitung dengan rumus xi+1 = xi - ,

                   I = 1, 2, 3, …

Dan x1 serta x ditentukan sembarangan.

Langkah 3 : nilai x dari PNLT tersebut adalah ketika x_i+1 ⸗ x_i

Jawab :

i	xi	F(xi)
1	1	4.016025641
2	2	-1
3	1.800639	-0.975952294
4	-6.29023	1483351.725
5	1.800634	-0.975949857
6	1.800628	-0.975947419
7	-0.33078	16.9196034
8	1.68439	-0.866514594
9	1.586214	-0.647335571
10	1.296254	1.01838529
11	1.473529	-0.194935486
12	1.445047	-0.04186083
13	1.437259	0.002827091
14	1.437751	-3.60859E-05
15	1.437745	-3.03377E-08
16	1.437745	3.25295E-13
17	1.437745	0
18	1.437745	0

Soal 4 :

Van der Waals equation of state is given as :

[P +  ] [ V- b ] = RT

Where :

P = pressure (10 atm)

T = temperature (250 ^OK)

R = gas constant (0.082 Liter. Atm/gmole. ^oK)

V = specific Volume

Determine the specific volume for ammonia using secant’ method.

Penyelesaian :

Langkah 1 : ubah bentuk PNLT tersebut menjadi f(x_i) dan f(x_i-1)

Langkah 2 : akar PNLT dihitung dengan rumus xi+1 = xi - ,

                   I = 1, 2, 3, …

Dan x1 serta x ditentukan sembarangan.

Langkah 3 : nilai x dari PNLT tersebut adalah ketika x_i+1 ⸗ x_i

Jawab :

I	Xi	Fxi
1	1	-151678382.5
2	3	-15922362.5
3	3.234573207	-13602809.88
4	4.6102069	-6425075.102
5	5.841591183	-3850732.948
6	7.683511077	-2095196.266
7	9.881803898	-1172471.717
8	12.67509271	-639881.4387
9	16.031094	-345364.8947
10	19.96650971	-181319.7371
11	24.31633967	-91446.41643
12	28.74230679	-43001.66096
13	32.6709867	-17844.20833
14	35.4576036	-5844.795621
15	36.81493722	-1214.763021
16	37.17105538	-108.56471
17	37.20600559	-2.262054944
18	37.20674931	-0.004324164
19	37.20675073	-1.72636E-07
20	37.20675073	5.10525E-12
21	37.20675073	5.10525E-12

Urutan penyelesaian system persamaan non-linear menggunakan metode Secant adalah sebagai berikut.

3.4 Penutup

Dalam metode numeric,ada beberapa metode yang bisa digunakan dalam penyelesaian persamaan non linear yakni metode Newton dan metode Secant. Metode Newton dapat digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan non linear,metode ini terdiri dari beberapa langkah yakni penurunan secara parsial, penyusunan, menghitung nilai d₁ dan d₂ serta proses pengulangan. Sedangkan metode Secant diperoleh dari metode Newton dengan cara menggantikan turunan f’(x). Bila turunan fungsi f’(x) sulit ditemukan, metode newton tidak dapat dipakai.

DAFTAR PUSTAKA

Alifis.2008. bab-ii-solusi-persamaan-non-linear.pdf (di akses tanggal 8 oktober 2011))

Anonim.2010.http://www.pustakaskripsi.com/penyelesaian-persamaan-non-linear-metode-biseksi-dan-metode-regula-falsi-menggunakan-cara-komputasi-skripsi-373.html (diakses tanggal 5 oktober 2011)

El said, fairus. 2008.http://fairuzelsaid.wordpress.com/ (diakses tanggal 8 oktober 2011)

Riggs, James B.An introduction to numerical methods for chemical engineer 2^nd edition.Texas Tech University Press : USA