MAKALAH METODE NUMERIK
“SISTEM PERSAMAAN
LINIER”
DISUSUN OLEH:
NAZSHA NAYYAZSHA
NAZARIS
RAHANI
RUTH INDAH SIANTURI
TRI LUSI LISA DILA
YOGA PRATAMA
Program Studi Sarjana
Teknik Kimia
Fakultas Teknik
Universitas Riau
2017
BAB II
SISTEM PERSAMAAN LINIER
2.1. Pendahuluan
Sistem
persamaan linier merupakan salah satu model dan masalah matematika yang banyak
dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu, termasuk fisika, biologi, teknik dll.
Sistem persamaan linier muncul secara langsung dari masalah nyata, dan
merupakan bagian dari proses penyelesaian masalah-masalah lain, misalnya
penyelesaian sistem
persamaan non linier simultan.
Suatu
sistem persamaan linier adalah sistem persamaan yang terdiri dari sejumlah
persamaan (berhingga) dan sejumlah variabel (berhingga).Mencari solusi suatu
sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel-variabel tersebut,
sehingga memenuhi semua sistem persamaan tersebut.
Aplikasi
matriks yang disusun dalam bentuk matriks(SPL) meliputi aturan crammer,
eliminasi gauss, invers matriks,dimana penggunaan metode-metode tersebut digunakan dalam
teknik kimia untuk menyelesaikan persamaan neraca massayang penyelesaiannya
sesuai dengan sifat-sifat operasi matriks.Persamaan
linear digunakan untuk menyelesaikan neraca massa dan energi, tapi aplikasi
terbesar dalam penyelesaian persamaan linear adalah mengimplementasikan metoda
numerik lainnya.
Tetapi, penggunaan metode tersebut juga
memiliki kelemahan. Untuk mengatasi kekurangannya maka, kita menggunakan
metode yang lain, yaitu analisis
Dekomposisi Nilai Singular atau Singular
Value Decomposition (SVD).
Secara
umum persamaan linier :
A21X1+
A22X2 + A23X3 + . . . . + A2nX4
= b2
: :
An1X1
+ An2X2+ An3X3 + . . . . + AnnXn = bn (2.1)
Dengan
menggunakan perkalian matriks, kita dapat menulis persamaan (2.1) sebagai
persamaan matriks
Ax = b (2.2)
Yang
dalam hal ini,
A
= [aij] adalah matriks berukuran n ×
n
x
=[xj] adalah matriks berukuran n × 1
b
=[bj] adalah matriks berukuran n × 1
(disebut juga kolom vektor) yaitu :
=
solusi
dari persamaan (2.1) adalah himpunan nilai x1,
x2, …, xn yang memenuhi n buah persamaan. Metode penyelesaian
sistem persamaan linear dengan determinan ( aturan Cramer) tidak praktis untuk
sistem yang besar. Ada beberapa metode penyelesaian praktis sistem persamaan
linear antara lain:
1. Metode
eliminasi Gauss
2. Metode
eliminasi Gauss – Jordan
3. Metode
matriks balikan
4. Metode
dekomposisi LU
5. Metode
lelaran Jacobi
6. Metode
lelaran Gauss – Seidel
Walaupun
metode persamaan SPL beragam, namun sebagian besar metode tersebut, terutama
metode 1 sampai 4, tetap didasarkan kepada metode yang paling dasar, yaitu
metode eliminasi Gauss.Metode eliminadi Gauss – Jordan, meetode matriks
balikan, dan metode dekomosisi LU merupakan bentuk varisai lain dari metode
eliminasi Gauss.sedangkan metode lelaran Jacobi dan metode lelaran Gauss –
Seidel dikembangkan dari gagasan metode lelaran pada solusi persamaan non
linear. Adapun
metode-metode yang digunakan untuk penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL)
yang akan dibahas adalah Metode Eliminasi Gauss dan Metode Thomas.
2.2 Metoda
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss
digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier dengan mengubah SPL
tersebut ke dalam bentuk sistem persamaan linear berbentuk segitiha atas, yakni
yang semua koefisien di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Bentuk segitiga
di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi (penyulihan) balik.
Agar dapat memahami
solusi SPL menggunakan metode eliminasi Gauss, di bawah ini akan dibahas
operasi – operasi baris utama dari matriks SPL bersankutan, sedemikian rupa
sehingga terbentuk suatu matriks segitiga – atas yang dianggap dapat
menggantikan matriks SPL yang sesunggahnya. Namun demikian, matriks segitiga –
atas ini memiliki kemudahan perolehan solusi yang lebih baik.
Untuk mendapatkan
solusi yang dimaksudkan, maka operasi – operasi baris utama dari matriks SPL
dapat dibagi atas langkah – langkah berikut ini:
·
Langkah
1: tuliskan SPL tersebut dalam bentuk matriks sebagai berikut:
·
Langkah
2: Nol kan a21, a31,
..., an1dengan cara:
Dengan:
|
Rn’=Rn-
R1
|
|
R2’=R2-
R1
|
·
Langkah
3: nol kan a32’, a42’,
..., an2’dengan cara sebagai berikut:
Dengan:
|
R3’’=R3 -
R2’
|
·
Langkah
4: langkah seterusnya di buat sedemikian sehingga akhirnya diperoleh bentuk
matriks sebagai berikut:
·
Langkah
ke – n: hitung X1, X2, X3, ..., Xn
dengan cara sebagai berikut:
®
®
Lebih jelasnya kita pandang
suatu sistem dari 3 persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui berikut ini:
a11x1
+ a12
x2 + a13 x3 = b1 (2.3a)
a21x1 +
a22 x2 + a23 x3 = b2 (2.3b)
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
= b3 (2.3c)
Persamaan
pertama dari sistem dibagi koefisien pertama dari persamaan pertama (a11), sehingga menjadi:
x1 +
x2 +
x3 =
(2.4)
Persamaan (2.5) dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan
kedua:
a21x1
+ a21
x2
+ a21
x3
= a21
(2.5)
Persamaan
(2.4b) dikurangi persamaan
(2.6), sehingga didapat:
(a22 -a21
) x2 + (a23
-a21
) x3 = (b2 -a21
) atau
x2
+
x3
=
Selanjutnya persamaan
yang telah dinormalkan persamaan (2.4)
dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan ketiga, dan hasilnya
dikurangkan dari persamaan ketiga dari sistem persamaan asli (persamaan 2.3c), hasilnya adalah:
x2 +
x3 =
Dengan
melakukan prosedur diatas, maka didapat sistem persamaan sebagai berikut:
a11x1
+ a12
x2 + a13 x3 = b1 (2.6a)
x2
+
x3 =
(2.6b)
x2
+
x3 =
(2.6c)
Persamaan 2.6, ekivalen dengan
persamaan aslinya, tetapi variabel x1
hanya muncul pada persamaan pertama, sedang dua persamaan terakhir hanya
mengandung dua bilangan tak diketahui, bila kedua persamaan terakhir dapat
diselesaikan untuk nilai x2
dan x3, maka hasilnya dapat
disubstitusikan ke dalam persamaan pertama untuk mendapatkan nilai x1. Permasalahan menjadi lebih sederhana, dari menyelesaikan
3 persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui menjadi penyelesaian 2 persamaan
dengan 2 bilangan tak diketahui.
Prosedur berikutnya adalah mengeliminasi x2 dari salah satu dua
persamaan terakhir, untuk itu persamaan (2.6b) dibagi dengan koefisien pertama dari persamaan (2.6b), yaitu
sehingga
menjadi:
x2 +
x3 =
(2.7)
Persamaan
2.8,
dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan (2.7c):
x2 +
x3 =
(2.8)
Persamaan
(2.7c) dikurangi persamaan
(2.9),
sehingga menjadi:
(
-
) x3 = (
-
) atau
x3 =
Dengan
demikian sistem persamaan menjadi:
a11x1
+ a12
x2 + a13 x3 = b1 (2.9a)
x2
+
x3 =
(2.9b)
x3
=
(2.9c
Sistem persamaan diatas mempunyai koefisien matriks yang
berbentuk segitiga atas (aij
= 0 untuk i>j), dari persamaan tersebut akan dapat dihitung nilai x1, x2 dan x3,
yaitu:
(2.10a)
(2.10b)
(2.10c)
dengan demikian sistem persamaan telah dapat
diselesaikan.
Urutan
penyelesaian system persamaan linear menggunakan metode gauss adalah sebagai
berikut :
Soal 1 :
Selesaikan sistem persamaan berikut ini:
3x +
y – z
= 5 (c1.a)
4x + 7y – 3z = 20 (c1.b)
2x – 2y + 5z = 10 (c1.c)
Penyelesaian:
a. Menormalkan persamaan (c1.a) dengan membagi persamaan
tersebut dengan koefisien pertama persamaan (c1.a) yaitu 3, sehingga:
x +
0,3333y – 0,3333 z = 1,6666 (c2)
b.
Persamaan
(c2) dikalikan dengan elemen pertama dari persamaan (c1.b):
4x + 1,3333y – 1,3333 z = 6,6666 (c3)
c.
Persamaan
(c1.b) dikurangi persamaan (c3), menjadi:
5,6667y – 1,6666 z = 13,3334 (c4)
d.
Persamaan
(c2) dikalikan dengan elemen pertama dari persamaan (c1.c), yaitu 2, sehingga
menjadi:
2x + 0,6666y – 0,6666 z = 3,3333 (c5)
e.
Persamaan
(c1.c) dikurangi persamaan (c5), menjadi:
–2,6666y + 5,6666 z = 6,6667 (c6)
f. Sistem
persamaan menjadi:
3x + y –z = 5 (c7.a)
5,6667y – 1,6666 z = 13,3334 (c7.b)
– 2,6666y + 5,6666 z = 6,6667 (c7.c)
g.
Berikutnya
mengeleminasi variabel x2
dari persamaan (c7.c), untuk itu persamaan (c7.b) dinormalkan dengan membaginya
dengan elemen pertama dari persamaan tersebut yaitu 5,6667 sehingga menjadi:
y
– 0,2941z = 2,3529 (c8)
h.
Persamaan
(c8) dikalikan dengan elemen pertama dari persamaan (c7.c) yaitu dengan –
2,6666 sehingga menjadi:
–2,6666y + 0,7842 z = –6,2742 (c9)
i.
Persamaan
(c7.c) dikurangi persamaan (c9), menjadi:
4,8824z = 12,9409
j.
Setelah
dilakukan 3 kali manipulasi sistem persamaan, menjadi:
3x + y
– z = 5 (c10.a)
5,6667y – 1,6666 z = 13,3334 (c10.b)
4,8824z = 12,9409 (c10.c)
k.
Dari persamaan (c10.c),
dapat dihitung nilai z, yaitu: z =
= 2,6505.
l.
Dari persamaan (c10.b)
dan nilai z yang didapat, maka nilai y dapat dihitung yaitu:
y =
= 3,1325.
m.
Dengan
persamaan (c10.a) serta nilai y dan z yang didapat, maka nilai x dapat dihitung, yaitu: x =
=
= 1,506.
Jadi, hasil penyelesaian sistem persamaan adalah:
x =
1,506 ; y =
3,1325 dan z = 2,6505.
Untuk
mengetahui benar tidaknya hasil yang didapat, nilai x, y dan z yang didapat disubstitusikan ke sistem
persamaan asli:
3(1,506)
+ 3,1325 – 2,6505 = 5 (=
5)
4(1,506) + 7(3,1325) – 3(2,6505) = 20 (= 20)
2(1,506) – 2(3,1325)+ 5(2,6505) =
9,9995 (» 10)
Soal2 :
Perhatikan
flowchart berikut ini :
Gambar 2.1.Flow
chart
Umpan
berupa zat A murni dengan laju 100 kmol/jam.
Kendala:
1. 80% dari A dan 40% dari B di
dalam alur 2 didaur ulang (recycle).
2. Perbandingan mol A terhadap
mol B di dalam alur 1 adalah 5:1
Neraca
massa (dalam kmol/jam):
Di
sekitar pencampur:
NA1= NA3+ 100
atau: NA1− NA3= 100....................................... (1)
NB1 = NB3atau:
NB1− NB3= 0..................................................... (2)
(NA1 menyatakan laju alir molar A di
dalam alur 1, dst.)
Di
sekitar reaktor:
NA2= NA1− r
atau: − NA1+ NA2+ r
= 0....................................... (3)
NB2 = NB1+ r
atau: − NB1+ NB2− r
= 0...................................... (4)
(r menyatakan laju reaksi)
Di
sekitar pemisah:
NA3 + NA4= NA2atau:
− NA2+ NA3+ NA4= 0................................ (5)
NB3+ NB4= NB2atau:
− NB2+ NB3+ NB4= 0................................. (6)
Berdasarkan
kendala 1:
NA3= 0,8
NA2 atau: − 0,8
NA2+ NA3= 0...................................... (7)
NB3= 0,4
NB2atau: − 0,4
NB2+ NB3= 0...................................... (8)
Berdasarkan
kendala 2:
NA1 = 5
NB1atau: NA1− 5
NB1= 0............................................... (9)
Berdasarkan penjabaran neraca massa di
atas, dihasilkan 9 buah persamaan linier dengan 9 variabelyang tak diketahui
(yakni NA1, NB1, NA2, NB2, NA3,
NB3, NA4, NB4, dan r). Dengan demikian,
terbentuk sistem persamaan linier yang dapat diselesaikan secara simultan!
Langkah 1.
Ubah persamaan umum kedalam bentuk matriks
|
Pers.
|
NA1
|
NA2
|
NA3
|
NA4
|
NB1
|
NB2
|
NB3
|
NB4
|
r
|
H
|
|
1
|
1
|
0
|
-1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
100
|
|
2
|
-1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
|
3
|
1
|
0
|
0
|
0
|
-5
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
4
|
0
|
-1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
5
|
0
|
-0.8
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
6
|
0
|
0
|
0
|
0
|
-1
|
1
|
0
|
0
|
-1
|
0
|
|
7
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
-0.4
|
1
|
0
|
0
|
0
|
|
8
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
-1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
|
9
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
-1
|
0
|
0
|
0
|
Langkah 2.Nolkan kolom pertama untuk R2,R3,
R4, R5, R6,
R7, R8dan R9
Langkah 3. Nolkan kolom kedua untuk R3, R4,R5, R6, R7, R8
dan R9
Langkah 4. Nolkan kolom ketiga untuk R4,R5, R6, R7, R8
dan R9
Langkah 5. Nolkan kolom ketiga untuk R5, R6, R7, R8
dan R9
Langkah 6. Nolkan kolom ketiga untuk R6, R7, R8 dan R9
Langkah 7. Nolkan kolom ketiga untuk R7, R8 dan R9
Langkah 8. Nolkan kolom ketiga untuk R8 dan R9
Langkah 9. Nolkan kolom ketiga untuk R9
Langkah 10.Kita
hanya tinggal menggunakan substitusi balik untuk memperoleh nilai X, dan dengan
bantuan Microsoft excel kita dapat memperoleh nilai X dengan cepat sehingga
didapatkan:
|
X1
|
X2
|
X3
|
X4
|
X5
|
X6
|
X7
|
X8
|
X9
|
|
227.3
|
159.1
|
127.3
|
31.82
|
45.45
|
113.6
|
45.45
|
68.18
|
68.18
|
Soal 3 :
Cari nilai A, B,
C dan D dari SPL berikut:
2A + 5B – 7C – D
= 1 R(1)
13A + 6B + 4C –
2D = -6 R(2)
7A – 2B – C + D = 7 R(3)
6A + 6B – 4C +
4D = 2 R(4)
Penyelesaian
Langkah 1:
eliminasi maju
Operasi – operasi
eliminasi adalah R(2) – 13/2*R(1), /R(3) – 7/2*R(1), R(4) – 6/2*R(1),akan
memberikan perubahan pada persamaan diatas menhadi:
2A
+ 5B – 7C – D = 1 R(1)
-26,5B + 49,5C + 4,5D = -12,5 R(2)
–19,5B
+ 23,5C + 4,5D = 3,5 R(3)
-9B + 17C + 7D = -1 R(4)
Langkah
selanjutnya, B harus dihilangkan dari R(3) dan R(4) dengan oopereasi R(3) –
19,5/-26,5*R(2) dan R(4) – 9/-26,5*R(2), sehingga akan memberikan perubahan
pada persamaan di langkah 1 sebagai berikut:
2A
+ 5B – 7C – D = 1 R(1)
-26,5B + 49,5C + 4,5D = -12,5 R(2)
–12,9245C + 1,188679D = 12,69811 R(3)
0,188697C + 5,471698D = 3,245283 R(4)
Untuk melengkapi
eliminasi maju, C harus dihilangkan dari R(4) dengan operasi R(4) – 0,188697/ 12,9245*R(3),
sehingga sistem tereduksi menjadi bentuk segitiga atas sebagai berikut:
2A
+ 5B – 7C – D = 1 R(1)
-26,5B + 49,5C + 4,5D = -12,5 R(2)
–12,9245C + 1,188679D = 12,69811 R(3)
5,489051D =
3,430657 R(4)
Langkah 2:
substitusi balik
|
0,625
|
|
=
|
|
D =
|
5,489051
|
-0,925
|
|
=
|
|
C =
|
–12,9245
|
-1,15
|
|
=
|
|
B =
|
–26,5
|
0,45
|
|
=
|
|
A =
|
2
Dengan
bantuan Microsoft excel kita dapat memperoleh nilai A, B, C, dan D dengan cepat yaitu:
|
A
|
B
|
C
|
D
|
b
|
|
|
2
|
5
|
-7
|
-1
|
1
|
R1
|
|
0
|
-26,5
|
49,5
|
4,5
|
-12,5
|
R2'
|
|
0
|
0
|
-12,9245
|
1,188679
|
12,69811
|
R3'
|
|
0
|
0
|
0
|
5,489051
|
3,430657
|
R4'
|
|
D
|
C
|
B
|
A
|
|
0,625
|
-0,925
|
-1,15
|
0,45
|
|
START
|
|
j
= 1 sampai dengan n
|
|
Input :
-
Ukuran ordo matriks (n)
-
Augmaented Matriks (A[n][n+1])
-
Iterasi Maksimum (max_iter)
-
Toleransi Error(e)
|
|
i
= 1 sampai dengan n
|
|
i
|
|
i
= 1 sampai dengan n
|
|
Input : Nilai awal s[i]=x[i]
|
|
j
i
|
|
X[i] =
(A[i][n+1] –
ex[i] = |x[i]-s[i]|
iterasi = iterasi + 1
|
|
j
|
|
i
|
|
Iterasi
> max_iter
|
|
1
|
|
1
|
|
j
= 1 sampai dengan n
|
|
Tampilkan
: X[i]
|
|
i
|
|
END
|
2.3 Metoda Thomas
Metode eliminasi Gauss dapat diterapkan untuk sistem
persamaan linier yang matriks koefisiennya berupa matriks tridiagonal. Metode
terapan ini biasa disebut metode Thomas,
yang alur penyelesaiannya akan digambarkan dalam uraian berikut ini.
·
Langkah 1: Tinjaulah
sistem persamaan linier:
a11 x1 + a12
x2 =
b1
a21 x1 + a22
x2 + a23 x3 = b2
a32
x2 + a33 x3 + a34 x4 = b3
..................................................................
an,n-1
xn-1 + ann xn = bn
Atau,
dapat dituliskan menjadi:
d1
x1 + e1 x2 =
b1
c2 x1 + d2
x2 + e2 x3 =
b2
c3 x2 + d3
x3 + e3 x4 =
b3
........................................................
cn xn-1
+ dn xn = bn (2.12)
·
Langkah 2: Dalam bentuk
perkalian matriks dan vektor, persamaan di atas dapat dituliskan sebagai:
penyelesaian dari sistem persamaan
linier adalah sebagai berikut ;
(2.13)
(i = n-1, n-2.., 1)
(2.14)
dengan γi dan βi yang
ditentukan melalui serangkaian perhitungan berurutan sebagai berikut:
·
Langkah
3:
(2.15)
(2.16)
(i = 2, 3, ..., n)
(2.17)
(i = 2, 3, ..., n)
(2.18)
Urutan penyelesaian system persamaan
linear menggunakan metode Thomas dapat dilihat pada algoritma berikut :
|
Start
|
|
Input matriks koefisien
|
|
Input nilai awal
|
|
Input syarat batas
|
|
LU decomposition
|
|
Deklarasi variabel, dsb
nx=10
nt=20
k=nx/2
|
|
j=0
|
|
j=j+1
|
|
j <= nt-1
|
|
Kalkulasi nilai vektor konstanta
sebanyak k
|
|
Substitusi maju
|
|
Substitusi mundur dan dapat solusi
|
|
Update nilai semua solusi
|
|
Cetak solusi
|
|
Stop
|
|
TRUE
|
|
FALSE
|
Contoh 1.
Selesaikan
sistem tradigional berikut dengan logaritma thomas
2,04 -1 T1 40,8
-1 2,04 -1 T2 0,8
-1 2,04 -1 T3 0,8
-1 2,04 T4 200,8
Solusi
Pertama,
dikomposisi diemplementasikan sebagai berikut:
e2=
-1/2,04 = -0,49
f2=
2,04-(-0,49)(-1) = 1,550
e3=
-1/1,550 = -0,645
f3=
2,04-(-0,645)(-1) = 1,395
e4=
-1/1,395 = -0,717
f4=
2,04-(-0,717)(-1) = 1,323
Kemudian
matriks bertransformasi menjadi
2,04 -1
-0,49 1,550 -1
-0,645 1,395 -1
-0,717 1,323
Dan dekomposisi LU memberikan
A =
L U = 1 2,04 -1
-0,49 1 1,55 -1
-0,645 1 1,395 -1
-0,717 1 1,323
Subsitusi
maju memberikan perhitungan
r2=
0,8 - (-0,49) x 4,08 = 20,8
r3
= 0,8 – (-0,645) x 20,8 =14,221
r4
= 200,8-(-0,717) x 14,221 =210,996
dan
modifikasi vektor
40,8
20,8
14,221
210,996
Yang
kemudian digunakan dalam konjugasi dengan matriks U dslsm substitusi balik dan
memberikan solusi:
T4=
210,996/1,323 = 159,48
T3
= (14,221-(-1) x 159,49)/1,395 = 124,538
T2
= (20,800-(-1) x 124,538)/1,550 = 93,778
T1 = (40,800-(-1) x 93,778)/2,040 = 65,970
Contoh 2.
Jika terdapat proses ekstraksi
cair-cair dengan pelarut immiscible.
Aliran W memasuki tahap pertama memiliki Xin
fraksi berat dari material A dan pelarut S memasuki tahap terakhir memilki Yin fraksi berat material A. ketika
pelarut mengalir melewati suatu proses yang mendapatkan material A lebih banyak
dari pada mengekstraksi material A pada aliran W.
Untuk setiap tahap (i), kita dapat
mengasumsikan persamaan antara fraksi berat material A pada aliran S(Yi) dan
fraksi berat A didalam aliran W(Xi). Asumsikan pada setiap operasi pada
temperatur yang sama, hubungan antara Xi dan Yi, digambarkan sebagai :
Yi=KXi
Kesetimbangan A pada i
tahap, asumsikan Xi dan Yi, sangat kecildan S dan W melalui suatu proses:
Xi-1W
+ Yi-1S = XiW + YiS
Gunakan persamaan yang berhubungan,
asumsi K konstan
Xi-1
– (1 +
)Xi +
Xi+1 = 0
Pada tahap pertama:
–
(1 +
)X1 +
X2 = Xin
Pada tahap terakhir:
Xn-1
– (1 +
)Xn= -
Yin
S
= 1000 kg/hr K = 10
W
= 2000 kg/hr N = 10
Xin
= 0.05
Yin=
0
Sehingga didapatkan persamaan
tridiagonal, yaitu:
-6X1+5X2 =
-0.05
X1-6X2+5X3 =
0
X2-6X3+5X4 =
0
X3-6X4+5X5 =
0
X4-6X5+5X6 =
0
X5-6X6+5X7 =
0
X6-6X7+5X8 =
0
X7-6X8+5X9 = 0
X8-6X9+5X10 = 0
X9-6X10 = 0
Penyelesaian
Tentukan nilai ci, di,
ei dan bi
Tentukan nilai βi dan γi
β1
= d1 β2
=
γ1
=
γ2 =
Tentukan nilai Xi
T=X
X10 = γ10
X9 =
|
I
|
ci
|
di
|
ei
|
Bi
|
βi
|
γi
|
T
|
|
1
|
0
|
-6
|
5
|
-0.05
|
-6
|
0.008333
|
0.01
|
|
2
|
1
|
-6
|
5
|
0
|
-5.16667
|
0.001613
|
0.002
|
|
3
|
1
|
-6
|
5
|
0
|
-5.03226
|
0.000321
|
0.0004
|
|
4
|
1
|
-6
|
5
|
0
|
-5.00641
|
6.4E-05
|
7.999E-05
|
|
5
|
1
|
-6
|
5
|
0
|
-5.00128
|
1.28E-05
|
1.599E-05
|
|
6
|
1
|
-6
|
5
|
0
|
-5.00026
|
2.56E-06
|
3.195E-06
|
|
7
|
1
|
-6
|
5
|
0
|
-5.00005
|
5.12E-07
|
6.349E-07
|
|
8
|
1
|
-6
|
5
|
0
|
-5.00001
|
1.02E-07
|
1.229E-07
|
|
9
|
1
|
-6
|
5
|
0
|
-5
|
2.05E-08
|
2.048E-08
|
|
10
|
0
|
1
|
-6
|
0
|
1
|
0
|
0
|
2.4 Penutup
System
persamaan linier (SPL) merupakan salah satu model dan maslah matematika yang
banyak dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu, termasuik matematika, statistika,
fisika, biologi, ilmu-ilmu social, teknik dan bisnis. Sistem-sistem persamaan
linier muncul secara langsung dari masalah-masalah nyata. Masalah-masalah
tersebut dapat diubah dalam bentuk persamaan:
a11x1 + a12x2 + a13x3
+ .... + a1nxn = b1
a21x1+
a22x2 + a23x3 + . . . . + a2nx4
= b2
: :
an1x1
+ an2x2+
an3x3 + . . . . + annxn = bn
Persamaan di atas dapat di cari penyelesaiannya dengan
menggunakan matriks, metode eliminasi Gauss dan Metode Eliminasi Thomas. Bila
Metode eliminasi Gauss dapat diterapkan untuk system persamaan linier yang
matriks koefisiennya berupa matriks tridiagonal. Metode terapan ini biasa
disebut metode Thomas, yang alur penyelesaiannya akan digambarkan dalam bentuk
sebagai berikut:
LATIHAN SOAL
1.
Gunakan
eliminasi Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan berikut: 4 x1 + x2 - x3 = -2
5
x1 + x2 + 2 x3 = 4
6
x1 + x2 + x3 = 6
Lakukan partial column pivoting dan cek kebenaran jawaban Anda dengan
mensubstitusikan kembali ke dalam persamaan-persamaan semula.
2.
Selesaikan
sistem persamaan linier berikut ini dengan metode eliminasi Gauss, dan
tunjukkan semua langkah perhitungannya.
2 x2 - x3 = 3
2
x1 - 3 x2 + x3 = 1
3
x1 - 2 x2 + 5 x3 = 10
3. Selesaikan 3 buah persamaan linier
berikut ini dengan metode eliminasi Gauss, dan tunjukkan semua langkah perhitungannya.
3
x1 - x2 + 3 x3 = 2
5
x1 + 3 x2 + x3 = 6
x1 + 2 x2 - x3 = 2
4.
Selesaikan
sistem persamaan linier berikut ini dengan metode Thomas, dan tunjukkan semua
langkah perhitungannya.
x1 - x2 = 1
2 x1 + x2 - 3 x3 = 1
3 x2 - 4 x3 + 2 x4 = 3
x3 - 5 x4 = 3
5.
Gambar
berikut ini memperlihatkan sistem tiga buah reaktor yang terhubungkan oleh
pipa-pipa. Laju perpindahan setiap komponen/zat melalui setiap pipa merupakan
perkalian dari laju alir volumetriknya (Q, dalam satuan m3/detik) dengan
konsentrasinya yang keluar dari masing-masing reaktor (C, dalam satuan mg/m3). Sistem proses
berada dalam kondisi steady, yang
berarti bahwa laju massa masuk ke setiap reaktor sama dengan laju massa keluar.
|
400
mg/detik
|
|
Q13C1
|
|
Q33C3
|
|
1
|
|
3
|
|
Q12C1
|
|
Q23C2
|
|
Q21C2
|
|
200
mg/detik
|
|
2
|
Q33 = 120
Q13 = 40
Q12 = 80
Q23 = 60
Q21 = 20
Susunlah neraca massa pada masing-masing reaktor dan
selanjutnya selesaikanlah sistem persamaan aljabar linier yang terbentuk (untuk
menentukan harga-harga C1, C2, dan C3).
DAFTAR
PUSTAKA
Riggs,J.B.1998.An Introduction to Numerical Methods For
Chemical Engineers. Texas:Texas Tech University Press
Nasution Amrinsyah dan
Hasballah Zakaria.2001.Metode Numerik
dalam Ilmu Rekayasa Sipil.Bandung:Penerbit ITB Bsndung
Tidak ada komentar:
Posting Komentar