Agung prabowo: IVP METODE NUMERIK

INITIAL VALUE PROBLEMS

(Single, First Order ODE and

Systems of Coupled First Order ODE)

Oleh :

Kelompok 7

Kelas B

Bima Wandika Putra 1407123537

Dani Sasmitra 1507113627

Ivan Fadillah 1507117723

Septiani Lestari 1507121574

PROGRAM STUDI TEKNIK KIMIA S1

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU

2017

KATA PENGANTAR

Metode Numerik merupakan mata kuliah wajib Semester IV pada program studi S1 Teknik Kimia dengan beban 3 SKS. Setelah mengikuti perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan dapat menyelesaikan masalah matematis teknik kimia secara numerik.

Makalah Initial Value Problems (Single, First Order ODE and Systems of Coupled First Order ODE) ini disusun untuk memenuhi nilai tugas pada semester IV mata kuliah Metode Numerik. Makalah ini disusun berdasarkan hasil studi pustaka dan diskusi kelompok.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu penulis mengharapkan saran-saran yang sifatnya membangun sebagai bahan pertimbangan untuk penulisan makalah di masa yang akan datang. Semoga makalah ini dapat memberikan sumbangan bagi perkembangan pendidikan dan bermanfaat bagi kita semua terutama bagi mahasiswa Teknik Kimia, Universitas Riau.

Pekanbaru, Mei 2017

Penulis

DAFTAR ISI

KataPengantar .......................................................................................................i

Daftar Isi.................................................................................................................ii

Bab VI : Initial Value Problem (IVP)

7.1 ... Pendahuluan .................................................................................................. 1

7.2 Pengertian Initial Value Problem (IVP) ........................................................ 3

7.3 Jenis-jenis Initial Value Problem (IVP) ......................................................... 3

7.3.1 Single, First Order ODE ...................................................................... 3

7.3.2 Systems of Coupled First Order ODE................................................ 12

7.4 Converting an nth Order ODE to a System of First Order ODE’s .............21

7.5 Rangkuman ..................................................................................................24

Daftar Pustaka......................................................................................................31

BAB VII

Initial Value Problem (IVP)

(Single, First Oerder ODE and Systems of Coupled First Order ODE)

7.1 Pendahuluan

Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. (A differential equation is any equation which contains derivatives, either ordinary derivatives or partial derivatives). Selanjutnya jika dalam persamaan tersebut turunan fungsi itu hanya tergantung pada satu variabel bebas, maka disebut Persamaan Differensial Biasa (PDB) dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan Differensial Parsial (PDP).

Contoh:

(Persamaan Differensial Parsial)

(Persamaan Differensial Biasa)

Order suatu persamaan differensial biasa adalah order tertinggi dari turunan dalam persamaan

. Contoh no.2 adalah persamaan differensial biasa order dua. Persamaan differensial biasa order n dikatakan linier bila dapat dinyatakan dalam bentuk;

dengan

1. Jika tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier.

2. Jika koefisien

konstan maka disebut persamaan differensial linier dengan koefisien konstan, jika tidak disebut persamaan differensial linier dengan koefisien variable.

3. Jika

, maka disebut persamaan differensial linier homogen, jika

disebut tidak homogen.

Persamaan differensial itu terbagi berdasarkan :

1. Berdasarkan pangkat orde :

Persamaan differensial biasa orde satu

Persamaan differensial orde satu merupakan bentuk persamaan differensial yang paling sederhana, karena hanya melibatkan turunan pertama dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Jika dalam persamaan tersebut variabel bebas dan variabel tak bebasnya berada pada sisi yang berbeda dari tanda persamaannya, maka disebut persamaan differensial yang terpisah dan untuk menentukan penyelesaiannya tinggal diintegralkan. Jika tidak demikian, maka disebut persamaan differensial tak terpisah. Suatu persamaan differensial orde satu yang tak terpisah biasanya dapat dengan mudah dijadikan persamaan differensial terpisah melalui penggantian (substitusi) dari salah satu variabelnya.

Persamaan differensial biasa orde dua

Persamaan differensial biasa orde tiga

2. Berdasarkan kondisi batas:

a. IVP (Initial Value Problems), bila nilai variabel tak bebas atau turunannya diketahui pada kondisi nilai mula-mula.

b. BVP (Boundary Value Problems), bila nilai variabel tak bebas atau turunannya diketahui lebih dari satu nilai variabel bebasnya.

7.2 Pengertian Initial Value Problem (IVP)

Initial Value Problem (IVP) merupakan materi yang penting untuk dipelajari oleh mahasiswa teknik. Kelas terbesar IVP adalah masalah sementara yaitu, variabel-variabel dependen berubah terhadap waktu. Salah satu contoh permasalahan yang bisa diselesaikan dengan IVP dalam bidang teknik kimia adalah variasi konsentrasi sebagai hasil reaksi dalam reactor batch.

ODE (Ordinary Differential Equation) adalah sebuah persamaan differensial yang berisi turunan dari satu variabel independen, sementara itu PDE berisi turunan dari variabel independen yang lebih dari satu. Pada persamaan differensial biasa (ODE), hanya terdapat 1 variabel bebas.

Penyelesaian persamaan differensial biasa (ODE) dapat dilakukan dengan 4 metode yaitu :

· Metode Euler (Explicit)

· Metode Runge Kutta

· Metode Euler Modifikasi (Implisit)

· Metode Trapezoidal

Uraian berikut ini hanya membahas tentang penyelesaian IVP dengan metode Euler (explicit) dan metode Runge Kutta.

7.3 Jenis-jenis Initial Value Problem (IVP)

Adapun jenis dari Initial Value Problem (IVP), yaitu :

7.3.1 Single, First Order ODE

Persamaan untuk IVP Single, First Order ODE bisa ditulis mengikuti bentuk:

dimana :

Metode penyelesaian Single, First Order ODE ada 3 yaitu:

a. Metode Euler (Explicit)

b. Metode Runge Kutta

c. Metode Euler Modifikasi (Implisit)

a. Metode Euler (Explicit)

Metode Explisit Euler disebut juga metoda integrasi nilai awal, dimana kondisi awal

digunakan untuk menghitung slope y (x) pada saat x = x₀

kemudian diasumsikan bahwa slope

tetap konstan untuk jarak yang kecil
∆x, maka nilai y(x₀ +∆x) adalah

Rekursi umum hubungan metode Explicit Euler adalah

atau

...................................................(2.1)

Gambar 7.1 Algoritma metode Explicit Euler

Example 7.1

Hitung nilai y pada x = 1 dengan metode Euler jika persamaannya

dimana y = 1 pada saat x = 0

Solusi

Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk dy/dx = f(x,y)

maka

Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk explicit euler

y_i+1= y_i + ∆x f (x_i, y_i)

maka

y_i+1= y_i + ∆x x_i²y_i

Langkah 3. Pilih ∆x yang tepat lalu selesaikan

Asumsi∆x= 0.1, ∆x= 0.05, ∆x= 0.02, ∆x= 0.01 x_o = 0, y_o = 1

Perbandingan nilai analitis dengan metode Euler:

Tabel 7.1 Data Metode Explit Euler Menggunakan Excel

X	∆x				Nilai Analisis
X	0,1	0,05	0,02	0,01	Nilai Analisis
0	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000
0,1	1,0000	1,0001	1,0002	1,0003	1,0003
0,2	1,0010	1,0018	1,0023	1,0025	1,0027
0,3	1,0050	1,0069	1,0081	1,0086	1,0090
0,4	1,0140	1,0176	1,0199	1,0207	1,0216
0,5	1,0303	1,0361	1,0400	1,0412	1,0425
0,6	1,0560	1,0650	1,0707	1,0727	1,0747
0,7	1,0940	1,1070	1,1154	1,1182	1,1211
0,8	1,1476	1,1661	1,1718	1,1819	1,1861
0,9	1,2211	1,2468	1,2635	1,2692	1,2751
1,0	1,3200	1,3559	1,3792	1,3873	1,3956

∆x	y (x=1)
0,1	1,3200
0,05	1,3559
0,02	1,3792
0,01	1,3873

Nilai Analisis

Gambar 7.2 Perbandingan nilai analitis dengan nilai yang didapat dengan metode Euler

Example 7.2

Diketahui persamaan differensial berikut:

+ xy =1

Maka :

y'=1 − xy atau f (x, y) =1 – xy

Bila ditentukan nilai awalnya adalah (0,0) dan h=0.1 maka diperole

Tabel 7.2 Data Metode Explit Euler Menggunakan Excel

n	X	y
0	0.00	0.0000
1	0.10	0.1000
2	0.20	0.1990
3	0.30	0.2950
4	0.40	0.3862
5	0.50	0.4707
6	0.60	0.5472
7	0.70	0.6144
8	0.80	0.6714
9	0.90	0.7176
10	1.00	0.7531


0.5000
0.4000
0.3000
0.2000
0.1000
0.0000
0.00	0.20	0.40	0.60	0.80	1.00	1.20

Gambar 7.3 Slope yang didapat dengan metode Euler

b. Metode Runge Kutta

Metode Runge Kutta menyediakan pendekatan orde tinggi untuk integrasi explicit dari Persamaan Differesial Biasa (PDB) yang telah diketahui nilai awalnya (initial value). Sehingga, metode ini sangat luas penggunaanya untuk menyelesaikan integrasi PDB secara numerik. Seperti metode Euler, PDB diasumsikan memiliki bentuk umum sebagai berikut

......................................................(2.2)

Metode Runge Kutta didasari oleh perluasan deret Taylor dari fungsi y(x) sebagai berikut

.........................(2.3)

Sebagai tambahan, ∆y diasumsikan memiliki bentuk sebagai berikut :

.................................(2.4)

dimana

.......................................(2.5)

konfigurasi ini dipilih dengan tujuan untuk mendapatkan pendekatan slope y terhadap ∆x yang lebih baik. Dengan menuliskan perluasan deret Taylor untuk k₁, k₂, k₃,dan k₄kemudian mensubtitusikannya ke persamaan (2.3), akan diperoleh persamaan yang bentuknya mirip dengan persamaan (2.2). Kemudian, dengan menyamakan koefisien yang variabelnya sama dan mengasumsikan nilai untuk n, m, dan p, maka nilai a, b, c, dan d dapat ditentukan.

Berikut ini adalah persamaan umum Runge Kutta (n= ½, m=1/2, dan p= 1)

............................(2.6)

dimana :

)

Gambar 7.1 Algoritma metode Runge Kutta

Example 7.3

Diketahui persamaan differensial sebagai berikut:

Dimana y = 1, pada x = 0. Tentukan nilai y pada saat x = 1 dengan metode Runge Kutta.

Solusi

Langkah 1. Ubah persamaan ke bentuk dy/dx = f(x,y)

Langkah 2. Ubah persamaan tersebut ke bentuk Runge Kutta

)

maka

+0.0025x0.1) = 0.01

Langkah 3. Tentukan nilai y_i+1dengan persamaan

Langkah 4. Pilih nilai ∆x yang tepat, lalu selesaikan

Untuk ∆x = 1

Tabel 7.3 Data Metode Runge Kutta Menggunakan Excel

I	X	Y	k₁	k₂	k₃	k₄
0	0	1	0	0,0025	0,0025	0,010003
1	0,1	1,000333	0,010003	0,022519	0,022533	0,040103
2	0,2	1,00267	0,040107	0,062792	0,062863	0,090806
3	0,3	1,009041	0,090814	0,124164	0,124368	0,163436
4	0,4	1,021563	0,16345	0,208521	0,208978	0,260615
5	0,5	1,042547	0,260637	0,319313	0,3202	0,386844
6	0,6	1,074655	0,386876	0,462215	0,463806	0,549308
7	0,7	1,121126	0,549352	0,646084	0,648804	0,759044
8	0,8	1,186095	0,759101	0,884376	0,888902	1,032738
9	0,9	1,275069	1,032806	1,197355	1,20478	1,395547
10	1	1,395612	1,395612	1,615596	1,627722	1,885645

Jadi nilai y pada saat x=1 adalah 1,395612.

Berdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara y dengan x sebagai berikut :

Gambar 7.4 Hubungan konsentrasi A (n_A) dengan waktu (t)

7.3.2 Systems of Coupled First Order ODE

Persamaan untuk IVP Systems of Coupled First Order ODE bisa ditulis mengikuti bentuk:

Permasalahan yang lebih umum akan menjadi salah satu di mana f₁ dan f₂ juga fungsi dari variabel independen, x; yaitu

Metode penyelesaian Systems of Coupled First Order ODE ada 3 yaitu:

a. Metode Euler (Explicit)

b. Metode Runge Kutta

c. Metode Trapezoidal

a. Metode Explicit Euler

Metode Explicit Euler disajikan pada bagian terakhir dapat langsung diperpanjang untuk solusi sistem n-coupled first order ODE’s. Hal ini karena masing-masing dyi/dx bergantung secara umum pada semua nilai yi, masing-masing f_i(x,y) dihitung sebelum nilai baru yi dihitung. Oleh karena itu, algoritma ini

......................................(2.8)

dimana y_i = (y_1,j, y_2,j, ..., y_n,j). Sebagai contoh, y_i,jadalah nilai y_i pada ke-j nilai x (yaitu bila kondisi awal yang ditentukan saat x=0, maka j-ke nilai x akan menjadi jΔx).

Karena metode ini didasarkan pada metode Euler Explicit, ini adalah metode orde pertama. Bergantung variabel (y_i) yang paling cepat berubah biasanya menentukan apakah metode ini akan stabil untuk ukuran langkah yang diberikan. Untuk contoh pengantar untuk bagian ini, konsentrasi berubah dengan cepat dengan waktu, kemudian akan menentukan ukuran langkah yang diperlukan untuk stabilitas.

Example 7.4

Diketahui persamaan differensial sebagai berikut:

Dimana C_A awal = 1 dan T awal = 300 K, tentukan konsentrasi dan temperatur setelah 100 sekon hingga tiga angka penting jika

Solusi

Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk

maka

Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk Explicit Euler

maka

dimana T₀=300 K dan C_A0=1 gmol/liter

Langkah 3. Pilih Δt yang tepat untuk menyelesaikan persamaan differensial di atas

Untuk Δt = 0,02

Tabel 7.4 Data Metode Runge Kutta Menggunakan Excel

I	T	N_A	T
0 1 2 . . . 2500 . . . 5000	0 0,02 0,04 . . . 50 . . . 100	1 0,999264 0,998529 . . . 0,153627 . . . 0,023062	300 300,007358 300,01471 . . . 308,463728 . . . 309,769376

Jadi, konsentrasi A (C_A) dan temperatur (T) setelah t=100 sekon adalah C_A=0,023062 gmol/liter dan T=309,769376 K

Berdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara C_A dan T terhadap t

Gambar 7.5 Hubungan antara konsentrasi A (C_A) dan Temperature (T) terhadap waktu (t)

b. Metode Runge Kutta

Dalam cara yang mirip dengan pengembangan metode Euler Explicit, metode Runge Kutta dapat diterapkan langsung ke solusi dari a set of coupled first order ODE’s. Mempertimbangkan urutan metode Runge Kutta keempat disajikan dalam bagian terakhir. Nilai-nilai k₁ ditentukan untuk masing-masing bergantung variabel dan kemudian nilai ini digunakan untuk menghitung nilai-nilai k₂, dan sebagainya. Kemudian hubungan rekursi untuk metode Runge Kutta urutan keempat diberikan sebagai

................(2.9)

dimana y,_i,jadalah nilai i-ke bergantung variabel setelah langkah-langkah j dalam x dan

..................(2.10)

Metode ini adalah metode urutan keempat. Perilaku stabilitas metode ini akan serupa dengan yang dari metode Euler Explicit.

Integrator Explicit dapat dengan mudah dimodifikasi untuk menyesuaikan ukuran langkah x selama proses integrasi. Sebagai contoh, Δx dapat dipilih sedemikian rupa sehingga perubahan relatif maksimal dalam setiap variabel adalah P persen. Dengan cara ini, ketika variabel-variabel bergantung yang berubah dengan cepat, ukuran langkah kecil dapat digunakan, dan ketika mereka berubah lebih cepat, langkah-langkah lebih besar dapat diambil.

i=1,2,...,n

Prosedur ini harus menghasilkan proses integrasi yang lebih efisien. Selain itu, P biasanya harus antara 1 dan 20%, sehingga memeriksa keakuratan ditentukan lebih langsung.

Example 7.5

Persamaan differensial sebagai berikut:

dimana y₁=y₂=y₃=1 dan x=0.

Tentukan y₁, y₂, y₃ pada x=0,3 menggunakan 4 urutan langkah metode Runge Kutta dengan Δx=0,1.

Solusi

Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke persamaan

maka

Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk Runge Kutta

maka

Langkah 3. Tentukan nilai y_i+1 dengan persamaan

maka

Langkah 4. Pilih Δx yang tepat lalu selesaikan persamaan differensial tersebut

Δx=0,1

x	y₁	y₂	y₃	dy₁/dx	dy₂/dx	dy₃/dx	k_1,1	k_1,2	k_1,3	k_2,1	k_2,2	k_2,3	k_3,1	k_3,2	k_3,3	k_4,1	k_4,2	k_4,3
0	1	1	1	0	3	0	0	3	0	0,0575	3,325	0,165	0,058	3,385	0,1678	0,1324	3,8471	0,373
0,1	1,0061	1,3378	1,0173	0,1323	3,8467	0,373	0,1323	3,8467	0,373	0,2244	4,4625	0,6276	0,2271	4,5935	0,6437	0,3418	5,4981	0,9811
0,2	1,029	1,7954	1,0823	0,3414	5,4936	0,9808	0,3414	5,4936	0,9808	0,4785	6,7218	1,4227	0,4865	7,0447	1,4793	0,657	9,0141	2,1285
0,3	1,0778	2,4961	1,2308	0,6557	8,997	2,1267	0,6557	8,997	2,1267	0,8564	11,822	3,0436	0,8755	12,822	3,2477	1,1322	18,213	4,8373

Berdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara y dengan x

Jadi didapat nilai y₁=1,0778, y₂=2,4961, dan y₃=1,2308 pada x=0,3

7.4 Converting an nth Order ODE to a System of First Order ODE’s

Perhatikan ODE orde kedua dengan kondisi awal:

dimana y(x₀) = a dan

karena kedua kondisi yang ditentukan untuk nilai x yang sama, masalahnya adalah sebuah IVP. Membuat substitusi berikut:

kemudian turunan differensial menjadi

kemudian kedua persamaan disusun kembali

dimana

z(x₀) = b

y(x₀) = a

sekarang orde kedua ODE telah diubah menjadi a set of two coupled first order ODE’s yang dapat terintegrasi dengan menggunakan salah satu metode yang dijelaskan sebelumnya.

Sekarang perhatikan masalah umum dari orde n-ke ODE, IVP; yaitu

dimana

. x = x₀.

dalam rangka untuk mengubah masalah ini menjadi a set of coupled first order ODE’s membuat, maka dibuat substitusi berikut:

maka selama kamu dapat secara exsplisit memecahkan

dalam fungsi umum, masalah dapat diubah menjadi bentuk berikut

dimana

. x = x₀.

sekarang masalah telah dikonversi ke dalam a set of n coupled first order ODE’s membentuk suatu IVP.

Example 7.6

Ubah persamaan differensial orde 3 berikut ke Systems First Order ODE’s

dimana

Solusi
Persamaan nya dapat diubah menjadi:

gunakan substitusi:

sehingga menjadi

dengan

7.5 Rangkuman

1) Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. (A differential equation is any equation which contains derivatives, either ordinary derivatives or partial derivatives). Selanjutnya jika dalam persamaan tersebut turunan fungsi itu hanya tergantung pada satu variabel bebas, maka disebut Persamaan Differensial Biasa (PDB) dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan Differensial Parsial (PDP).

2) Initial Value Problem (IVP) merupakan materi yang penting untuk dipelajari oleh mahasiswa teknik. Kelas terbesar IVP adalah masalah sementara yaitu, variabel-variabel dependen berubah terhadap waktu. Salah satu contoh permasalahan yang bisa diselesaikan dengan IVP dalam bidang teknik kimia adalah variasi konsentrasi sebagai hasil reaksi dalam reactor batch.

3) ODE (Ordinary Differential Equation) adalah sebuah persamaan differensial yang berisi turunan dari satu variabel independen, sementara itu PDE berisi turunan dari variabel independen yang lebih dari satu. Pada persamaan differensial biasa (ODE), hanya terdapat 1 variabel bebas.

4) Ada 3 metode penyelesaian persamaan differensial, Single, First Order ODE

a) Metode Euler (Explicit)

b) Metode Runge Kutta

dimana

)

c) Metode Euler Modifikasi (Implisit)

5) Ada 3 metode penyelesaian persamaan differensial, Systems of Coupled First Order ODE

a) Metode Explicit Euler

b) Metode Runge Kutta

dimana y,_i,jadalah nilai i-ke bergantung variabel setelah langkah-langkah j dalam x dan

c) Metode Trapezoidal

dimana

6) Contoh :

a) Gunakan metode Euler untuk menghitung nilai Y pada x = 1, jika :

dimana y = 1 pada x = 0

Solusi :

Step #1 = Diubah PDB ke bentuk

Maka =

Step #2 =

Step #3 = Pilih Δx sembarang (tapi sesuai) lalu hitung nilai PDB teraebut dngan menggunakan excel, maka di dapatkan data table :

Δx = 0,1

i	X	y
0	0	1
1	0.1	1.001
2	0.2	1.005004
3	0.3	1.014049
4	0.4	1.030274
5	0.5	1.056031
6	0.6	1.094048
7	0.7	1.147656
8	0.8	1.221106
9	0.9	1.320016
10	1	1.452017

b) Diketahui Persamaan PDB :

dimana : y(0) = 1

cari nilai y pada t = 1,00 detik

Solusi :

Step #1 = Diubah PDB ke bentuk

Maka :

Step #2 : Diubah PDB tersebut ke bentuk Euler :

yi+1

)

Step #3 : Pilih Δx sembarang (tapi sesuai) lalu hitung nilai PDB teraebut dngan menggunakan excel, maka di dapatkan data table :

Δx = 0,1

i	t	y	k1	k2	k3	k4
0	0	1	0	-0.00125	-0.00125	-0.005
1	0.1	0.999833346	-0.005	-0.01125	-0.01124	-0.01997
2	0.2	0.998667553	-0.01997	-0.03118	-0.03116	-0.0448
3	0.3	0.995510107	-0.0448	-0.06084	-0.06079	-0.07915
4	0.4	0.989390017	-0.07915	-0.09978	-0.09967	-0.12243
5	0.5	0.979382177	-0.12242	-0.14721	-0.14702	-0.17364

DAFTAR PUSTAKA

http://alifis.files.wordpress.com/2009/09/bab-v-masalah-nilai-awal-persamaan-diferensial.pdf

http://elista.akprind.ac.id/upload/files/9637_BAB_IIOK.pdf

Riggs., B., J. 1988. An Introduction To Numerical Methods For Chemical Enggineers. Texas Tech University Press, Texas.

Agung prabowo

Jumat, 07 Juli 2017

IVP METODE NUMERIK

1 komentar: