Jumat, 07 Juli 2017

SPNL 2 METNUM



MAKALAH
METODE NUMERIK
(SISTEM PERSAMAAN NONLINIER)

Description: UNRI_BW.JPG


Disusun Oleh:
KELOMPOK 4

1.      Ramos Cristover
2.      Fauziah Mulyana
3.      Cici Wirnasari
4.      Wida Sri Wani




PROGRAM SARJANA TEKNIK KIMIA
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU
2017
KATA PENGANTAR
Puji syukur penyusun panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat dan berkat-Nya sehingga penyusun berhasil menyelesaikan makalah mengenai proses degumming dan netralisasi. Penyusunan makalah ini merupakan salah satu dari tugas mata kuliah Metode Numerik.
Penyusun menyadari bahwa laporan ini jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penyusun memohon adanya saran dan kritik dari semua pihak guna ke depan yang lebih baik. Akhirnya, semoga laporan ini dapat bermanfaat bagi semua pihak dan penyusun pribadi. Amin.





Pekanbaru,   april 2017



                                                                                                            Penyusun



BAB 4
SISTEM PERSAMAAN NONLINIER
4.1              Pendahuluan
   Sistem persamaan nonlinear merupakan kumpulan dari beberapa persamaan nonlinear dengan fungsi tujuannya saja atau bersama dengan fungsi kendala berbentuk nonlinier, yaitu pangkat dari variabelnya lebih dari satu. Ada beberapa fungsi tujuan dalam persamaan nonlinier yang tidak bisa diselesaikan secara analitik, tetapi dapat diselesaikan dengan metode-metode khusus untuk penyelesaian masalah dalam persamaan nonlinier. Untuk menyelesaikan permasalahan persamaan nonlinier terdapat banyak metode dan algoritma yang bisa digunakan, tetapi setiap metode dan lgoritma yang ada mempunyai kelebihan dan kekurangan masing-masing. Salah satunya metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan secara analitik tidak dapat digunakan. Ada banyak macam metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear maupun sistem persamaan nonlinear diantaranya metode Newton-Raphson dan metode Jacobian.
Suatu kondisi reaksi menggambarkan reaksi kompleks untuk fase liquid seperti reaksi berikut:         
                                      A                B 
                                      A                C
                                      B                D + C

Dimana
r1 = k1 CA (gmol/liter sekon)                                                                     (1)
                                                                                              (2)
                                                                                                 (3)
                                                                                                 (4)
Dimana
Reaktor tangki berpengaduk digunakan untuk suatu sistem reaksi seperti pada gambar dibawah. Volume reaktor (VR) adalah 100 liter dan laju alir umpan Q sebanyak 50 liter/sec dengan konsentrasi komponen A = 1 mol/liter. Reaktor tangki berpengaduk di atur pada kondisi steady state dan sistem diasumsikan berada pada kondisi isotermal. Neraca massa dari sistem reaksi tersebut yaitu:
                        Keluaran = Masukan   + Yang terbentuk - Yang bereaksi
(Komponen A) CAQ = CAoQ                + VR(rs)             - VR(r1 + r2)              (5)
(Komponen B) CBQ = 0                       + VR(2r1)           - VR(r4)                       (6)
(Komponen C) CCQ = 0                       + VR(r2 + r4)        - VR(r3)                       (7)
(Komponen D) CDQ = 0                      + VR(r4)             -  0                            (8)

Tahap selanjutnya susun persamaan nonlinear seperti dibawah ini:
                (9)
 = 0                                               (10)
                                             (11)
                                                              (12)
Selanjutnya laju alir masing-masing komponen dapat dicari dengan menggunakan metode Newton.
Metode Newton Raphson adalah metode untuk mencari hampiran atau pendekatan terhadap akar fungsi real. Metode Newton-Raphson sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai cukup dekat dengan akar yang diinginkan. Secara umum pembahasan metode Newton-Raphson yang digunakan menggunakan pendekatan polinomial Taylor:
𝑃𝑛𝑥 = 𝑓𝑥0 + 𝑓𝑥0 𝑥𝑥0 + 𝑓"(𝑥0) 2! 𝑥𝑥0 2+ . . .+𝑓𝑛 (𝑥0) 𝑛! 𝑥𝑥0𝑛 (13)

Dalam penyelesaian system persamaan nonlinear yang terdiri dari himpunan nilai-nilai 𝑥 yang secara simultan memberikan semua persamaan tersebut nilai yang sama dengan nol [16]. Perhatikan sistem persamaan nonlinear di bawah ini :

𝑈1 = 𝑓1 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, . . . , = 0
𝑈2 = 𝑓2 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, . . . , = 0                                                                        (14)
                                      
𝑈𝑛 = 𝑓𝑛𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, . . . , = 0

Dimana penyelesaiannya dengan perluasan metode Newton-Raphson melalui ekspansi deret taylor pada masing-masing persamaan. Dengan ekspansi deret taylor orde pertama:

𝑓𝑥𝑖+1 = 𝑓𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖𝑓′(𝑥𝑖)                                                                     (15)

Sehinggapersamaan (14) menjadi:

𝑈1 𝑖+1 − (𝑈1)               𝑥1 𝑖+1𝑥1 𝑖
           

𝑈2 𝑖+1 − (𝑈2)      =       𝑥2 𝑖+1𝑥2 𝑖                    (16)                          
                                                                   
𝑈𝑛𝑖+1 − (𝑈𝑛)                𝑥𝑛𝑖+1𝑥𝑛𝑖
                                   


Metode Jacobian adalah metode penyelesaian persamaan melalui proses iterasi dengan menggunakan persamaan :

𝑥𝑖(𝑘+1) =, 𝑗𝑖, 𝑖 = 1,2, , 𝑛 … dan 𝑘 = 0,1,2, …                        (17)
bila dilihat dari sistem persamaan sebagai berikut :
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + … + 𝑎11𝑥1  = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + … + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
                                            
𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + … + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛

dengan syarat 𝑎𝑖𝑖 ≠ 0 , 𝑖 = 1,2,3, . . . , 𝑛 maka sistem persamaan iterasinya dapat ditulis sebagai berikut :
𝑥1(𝑘+1) = 𝑏1𝑎12𝑥2(𝑘) − ...− 𝑎1𝑛𝑥𝑛(𝑘)
𝑎11
𝑥2(𝑘+1) = 𝑏2𝑎12𝑥1(𝑘)𝑎23𝑥3(𝑘) − ...− 𝑎1𝑛𝑥𝑛(𝑘)                                                 (18)
𝑎22
𝑥n(𝑘+1) = 𝑏n𝑎n1𝑥1(𝑘)𝑎n2𝑥2(𝑘) − ...− 𝑎n𝑛𝑥𝑛-1(𝑘)
𝑎nn
dengan𝑘 = 0, 1, 2, . . .

Iterasi dimulai dengan memberikan nilai awal untuk 𝑥:
𝑥1(0)
𝑥(0)  =    𝑥2(0)                                                                                                                      (19)
𝑥𝑛(0)
kondisi berhenti iterasinya, dapat digunakan pendekatan galat relatif
𝑥𝑖(𝑘+1)𝑥𝑖(𝑘)          <𝜀, untuk i = 1, 2, 3, . . . , n                                     (20)
𝑥𝑖(𝑘+1)
Syarat agar iterasinya konvergen adalah:
𝑎𝑖𝑖>𝑎𝑖𝑗     ,untuk 𝑖 = 1, 2, 3, . . . ,n                                                    (21)

Jika syarat diatas dipenuhi, maka kekonvergenan akan dijamin. Kekonvergenannya juga ditentukan pada pemilihan tebakan awal. Tebakan yang terlalu jauh dari solusi sejatinya dapat menyebabkan iterasi divergen.
Contoh salah sistem persamaan nonlinear yang diberikan adalah sebagai berikut:
            Dalam aplikasi Teknik Kimia,untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier dapat digunakan metode Newton-Raphson.















4.2       Metode Newton-Raphson
Metoda ini adalah salah satu metoda penyelesaian sistem persamaan nonlinier, metoda ini terdiri dari beberapa langkah yaitu : penurunan secara parsial, penyusunan, menghitung nilai  dan , dan proses pengulangan. Metode ini mempunyai beberapa kekurangan diantaranya, sulitnya menentukan turunan parsial untuk fungsi tertentu, langkah dan pengerjaan yang panjang.
Misalkan ada 2 persamaan non linier dengan 2 variabel, misalkan fungsi u(x,y) dan v(x,y), maka, rumus iterasinya:
           
dan






Urutan penyelesaian system persamaan non-linear dapat dilihat dari algoritma berikut:













            Urutan penyelesaian system persamaan non-linear menggunakan metode Newton adalah sebagai berikut :
Langkah #1: ubah SPNL tersebut menjadi:
                                                     
k=1,2……..n

langkah #2: iterasi akan SPNL x dengan persamaan:
i=1,2………,n
langkah #3: nilai x dari SPNL tersebut adalah jika :
Contoh Soal
1.Cari x1 dan x2 dari SPNL berikut:
2X12 + 3X22- 50 = 0
2X12 – X2 – 9 = 0
Penyelesaian:              
                                   
Untuk f1(x1, x2) :
                                                  1
Untuk f2(x1, x2):
                 2


Mencari  dan dengan eleminasi dari persamaan (1):`
Substitusi ke persamaan (2)
   =  X
Maka  =
 

i
x1
x2
f1
f2
dfidx1
dfidx2
df2dx1
df2dx2
d1
d2
1
1
1
-45
-8
4
6
4
-1
3,321429
5,285714
2
4,321429
6,285714
105,8801
22,06378
17,28571
37,71429
17,28571
-1
-1,40166
-2,165
3
2,919764
4,120717
17,99097
3,929327
11,67906
24,7243
11,67906
-1
-0,38325
-0,54663
4
2,536518
3,574088
1,190164
0,293756
10,14607
21,44453
10,14607
-1
-0,03289
-0,03994
5
2,503629
3,534149
0,006949
0,002163
10,01451
21,2049
10,01451
-1
-0,00024
-0,00022
6
2,503391
3,533934
2,52E-07
1,13E-07
10,01356
21,2036
10,01356
-1
-1,2E-08
-6,3E-09
7
2,503391
3,533934
0
0
10,01356
21,2036
10,01356
-1
0
0
8
2,503391
3,533934
0
0
10,01356
21,2036
10,01356
-1
0
0
9
2,503391
3,533934
0
0
10,01356
21,2036
10,01356
-1
0
0
10
2,503391
3,533934
0
0
10,01356
21,2036
10,01356
-1
0
0
11
2,503391
3,533934
0
0
10,01356
21,2036
10,01356
-1
0
0
12
2,503391
3,533934
0
0
10,01356
21,2036
10,01356
-1
0
0
13
2,503391
3,533934
0
0
10,01356
21,2036
10,01356
-1
0
0
14
2,503391
3,533934
0
0
10,01356
21,2036
10,01356
-1
0
0
15
2,503391
3,533934
0
0
10,01356
21,2036
10,01356
-1
0
0



2.Diketahui Persamaan berikut
x2-2y-1=0
x+y2+1=0
tentukan nilai X dan Y dari pesamaan berikut

i
xi
yi
f1
f2
d f1 x
d f1 y
d f2 x
d f2 y
d1
d2
1
1
1
-2
3
2
-2
1
2
-0,33333
-1,33333
2
0,666667
-0,33333
0,111111
1,777778
1,333333
-2
1
-0,66667
-3,13333
-2,03333
3
-2,46667
-2,36667
9,817778
4,134444
-4,93333
-2
1
-4,73333
1,506913
1,191836
4
-0,95975
-1,17483
2,270788
1,420473
-1,91951
-2
1
-2,34966
0,383189
0,767627
5
-0,57656
-0,4072
0,146834
0,589251
-1,15313
-2
1
-0,81441
-0,36028
0,281144
6
-0,93685
-0,12606
0,129805
0,079042
-1,8737
-2
1
-0,25212
-0,0507
0,112404
7
-0,98755
-0,01366
0,002571
0,012635
-1,9751
-2
1
-0,02731
-0,01227
0,013401
8
-0,99982
-0,00025
0,000151
0,00018
-1,99964
-2
1
-0,00051
-0,00018
0,000255
9
-1
-8,1E-08
3,22E-08
6,49E-08
-2
-2
1
-1,6E-07
-6,5E-08
8,1E-08
10
-1
-8,7E-15
4,22E-15
6,55E-15
-2
-2
1
-1,7E-14
-6,6E-15
8,66E-15
11
-1
-2,4E-17
0
0
-2
-2
1
-4,9E-17
0
0
12
-1
-2,4E-17
0
0
-2
-2
1
-4,9E-17
0
0
13
-1
-2,4E-17
0
0
-2
-2
1
-4,9E-17
0
0
14
-1
-2,4E-17
0
0
-2
-2
1
-4,9E-17
0
0
15
-1
-2,4E-17
0
0
-2
-2
1
-4,9E-17
0
0





Hitung nilai .
Penyelesaian
a.    Kita buat turunan parsial dari fungsi pertama
Turunan parsial terhadap  adalah
Turunan parsial terhadap  adalah
b.             Kita buat turunan parsial dari fungsi kedua

Turunan parsial terhadap  adalah
Turunan parsial terhadap  adalah


c.                   Kita susun persamaan nonlinier kembali menjadi,

Kita subsitusikan turunan parsial diatas, menjadi

a.    Kita masukkan nilai perkiraan, awal misal , maka di dapat nilai  dan , yaitu:
b.    Kemudian kita gunakan nilai  dan  untuk di subtitusikan kedalam nilai  sementara, dan nilai  kita masukkan nilai perkiraaan. Setelah itu kita masukkan  sementara ke persamaan  dan , begitu seterusnya
c.    Setelah melakukan proses pegulangan diatas, didapat nilai , yaitu



4.3              PENUTUP
            Berdasarkan pembahasan diatas,dapat ditarik kesimpulan bahwa sistem persamaan non linier dapat diselesaikan dengan metode Newton-Raphson dan Jacobian. Metode Newton Raphson merupakan metode yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riildan dapat memecahkan persamaan f(x)=0,dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f.’

Soal:
1.Diketahui Persamaan berikut
x2-2y-1=0
x+y2+1=0
tentukan nilai X dan Y dari pesamaan berikut
2.  2𝑥2 +  𝑦      𝑧2    10 = 0
3𝑥2 + 6𝑦      𝑧2  – 25  = 0                                                                        
  𝑥2 − 5𝑦  +  6𝑧2  − 4   = 0
Tentukan nilai x,y dan z







DAFTAR PUSTAKA
C.Chapra Steven, P.C. Raymond. 1996. METODE NUMERIK,jilid 1 : Mc GrawHill .
Nasha, Khutwatun. 2008.Penyelesaian Sistem Persamaan Tak Linier Dengan Metode Newton-Raphson.http://lib.uin-malang.ac.id/thesis/fullchapter/03110240-khutwatun-nasiha.ps. diakses pada tanggal 29Maret 2017.
Riggs,J. 1988. An Introduction To Numerical Methods For Chemical Engineers. Texas Tech University Press

Tidak ada komentar:

Posting Komentar