MAKALAH
METODE
NUMERIK
(SISTEM
PERSAMAAN NONLINIER)

Disusun
Oleh:
KELOMPOK 4
1.
Ramos Cristover
2.
Fauziah Mulyana
3.
Cici Wirnasari
4.
Wida Sri Wani
PROGRAM
SARJANA TEKNIK KIMIA
FAKULTAS
TEKNIK
UNIVERSITAS
RIAU
PEKANBARU
2017
KATA PENGANTAR
Puji syukur
penyusun panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat
dan berkat-Nya sehingga penyusun berhasil menyelesaikan makalah mengenai proses
degumming dan netralisasi. Penyusunan makalah ini merupakan
salah satu dari tugas mata kuliah Metode Numerik.
Penyusun menyadari bahwa laporan ini jauh
dari sempurna. Oleh karena itu, penyusun memohon adanya saran dan kritik dari
semua pihak guna ke depan yang lebih baik. Akhirnya, semoga laporan ini dapat
bermanfaat bagi semua pihak dan penyusun pribadi. Amin.
Pekanbaru, april 2017
Penyusun
BAB
4
SISTEM
PERSAMAAN NONLINIER
4.1
Pendahuluan
Sistem persamaan nonlinear merupakan kumpulan
dari beberapa persamaan nonlinear dengan fungsi tujuannya saja atau bersama
dengan fungsi kendala berbentuk nonlinier, yaitu pangkat dari variabelnya lebih
dari satu. Ada beberapa fungsi tujuan dalam persamaan nonlinier yang tidak bisa
diselesaikan secara analitik, tetapi dapat diselesaikan dengan metode-metode
khusus untuk penyelesaian masalah dalam persamaan nonlinier. Untuk
menyelesaikan permasalahan persamaan nonlinier terdapat banyak metode dan
algoritma yang bisa digunakan, tetapi setiap metode dan lgoritma yang ada
mempunyai kelebihan dan kekurangan masing-masing. Salah satunya metode numerik
digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan secara analitik
tidak dapat digunakan. Ada banyak macam metode numerik untuk menyelesaikan
sistem persamaan linear maupun sistem persamaan nonlinear diantaranya metode
Newton-Raphson dan metode Jacobian.
Suatu
kondisi reaksi menggambarkan reaksi kompleks untuk fase liquid seperti reaksi
berikut:




Dimana
r1
= k1 CA (gmol/liter sekon) (1)







Dimana

Reaktor
tangki berpengaduk digunakan untuk suatu sistem reaksi seperti pada gambar
dibawah. Volume reaktor (VR) adalah 100 liter dan laju alir umpan Q
sebanyak 50 liter/sec dengan konsentrasi komponen A = 1 mol/liter. Reaktor
tangki berpengaduk di atur pada kondisi steady state dan sistem diasumsikan
berada pada kondisi isotermal. Neraca massa dari sistem reaksi tersebut yaitu:
Keluaran = Masukan + Yang terbentuk - Yang bereaksi
(Komponen
A) CAQ = CAoQ +
VR(rs) - VR(r1
+ r2) (5)
(Komponen
B) CBQ = 0 +
VR(2r1) - VR(r4) (6)
(Komponen
C) CCQ = 0 +
VR(r2 + r4) - VR(r3) (7)
(Komponen
D) CDQ = 0 +
VR(r4) - 0 (8)

Tahap
selanjutnya susun persamaan nonlinear seperti dibawah ini:




Selanjutnya
laju alir masing-masing komponen dapat dicari dengan menggunakan metode Newton.
Metode
Newton Raphson adalah metode untuk mencari hampiran atau pendekatan terhadap akar
fungsi real. Metode Newton-Raphson sering konvergen dengan cepat, terutama bila
iterasi dimulai cukup dekat dengan akar yang diinginkan. Secara umum pembahasan
metode Newton-Raphson yang digunakan menggunakan pendekatan polinomial Taylor:
𝑃𝑛𝑥 = 𝑓𝑥0 + 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓"(𝑥0) 2! 𝑥 − 𝑥0 2+ . . .+𝑓𝑛 (𝑥0) 𝑛! 𝑥 − 𝑥0𝑛 (13)
Dalam penyelesaian system persamaan nonlinear yang terdiri dari himpunan nilai-nilai 𝑥
yang secara simultan memberikan semua persamaan tersebut nilai yang sama dengan nol [16]. Perhatikan sistem persamaan
nonlinear di bawah ini :
𝑈1 = 𝑓1 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, . . . , = 0
𝑈2 = 𝑓2 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, . . . , = 0 (14)
⋮ ⋮ ⋮
𝑈𝑛 = 𝑓𝑛𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, . . . , = 0
Dimana penyelesaiannya dengan perluasan metode
Newton-Raphson melalui ekspansi deret taylor pada masing-masing persamaan. Dengan ekspansi deret taylor orde pertama:
𝑓𝑥𝑖+1 = 𝑓𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖𝑓′(𝑥𝑖) (15)
Sehinggapersamaan (14) menjadi:
𝑈1 𝑖+1 − (𝑈1)
𝑥1 𝑖+1 − 𝑥1 𝑖

𝑈2 𝑖+1 − (𝑈2) =
𝑥2 𝑖+1 − 𝑥2 𝑖 (16)

⋮
⋮ ⋮
⋮ ⋮
𝑈𝑛𝑖+1 − (𝑈𝑛)
…
𝑥𝑛𝑖+1 − 𝑥𝑛𝑖


Metode Jacobian adalah metode penyelesaian persamaan melalui proses
iterasi dengan menggunakan persamaan :
𝑥𝑖(𝑘+1)
=
, 𝑗 ≠ 𝑖, 𝑖 = 1,2, , 𝑛 … dan 𝑘 = 0,1,2, … (17)

bila dilihat dari sistem persamaan
sebagai berikut :
𝑎11𝑥1
+ 𝑎12𝑥2
+ … + 𝑎11𝑥1 = 𝑏1
𝑎21𝑥1
+ 𝑎22𝑥2
+ … + 𝑎1𝑛𝑥𝑛
= 𝑏2
⋮ ⋮
⋮
𝑎𝑛1𝑥1
+ 𝑎𝑛2𝑥2
+ … + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛
= 𝑏𝑛
dengan
syarat 𝑎𝑖𝑖
≠ 0 , 𝑖 = 1,2,3, . . .
, 𝑛 maka sistem
persamaan iterasinya dapat ditulis sebagai berikut :

𝑎11

𝑎22

𝑎nn
dengan𝑘 = 0, 1, 2, . . .
Iterasi
dimulai dengan memberikan nilai awal untuk 𝑥:

𝑥(0) = 𝑥2(0) (19)
⋮
𝑥𝑛(0)
kondisi
berhenti iterasinya, dapat digunakan pendekatan galat relatif



𝑥𝑖(𝑘+1)
Syarat
agar iterasinya konvergen adalah:





Jika syarat diatas
dipenuhi, maka kekonvergenan akan dijamin. Kekonvergenannya juga ditentukan
pada pemilihan tebakan awal. Tebakan yang terlalu jauh dari solusi sejatinya
dapat menyebabkan iterasi divergen.
Contoh salah sistem persamaan nonlinear
yang diberikan adalah sebagai berikut:
Dalam aplikasi Teknik Kimia,untuk
menyelesaikan sistem persamaan nonlinier dapat digunakan metode Newton-Raphson.
4.2 Metode
Newton-Raphson
Metoda
ini adalah salah satu metoda penyelesaian sistem persamaan nonlinier, metoda
ini terdiri dari beberapa langkah yaitu : penurunan secara parsial, penyusunan,
menghitung nilai
dan
, dan proses
pengulangan. Metode ini mempunyai beberapa kekurangan diantaranya, sulitnya
menentukan turunan parsial untuk fungsi tertentu, langkah dan pengerjaan yang
panjang.


Misalkan ada 2 persamaan
non linier dengan 2 variabel, misalkan fungsi u(x,y) dan v(x,y), maka, rumus
iterasinya:

dan


Urutan
penyelesaian system persamaan non-linear menggunakan metode Newton adalah
sebagai berikut :
Langkah
#1: ubah SPNL tersebut menjadi:

k=1,2……..n
langkah
#2: iterasi akan SPNL x dengan persamaan:

i=1,2………,n
langkah
#3: nilai x dari SPNL tersebut adalah jika :

Contoh Soal
1.Cari x1 dan x2 dari SPNL
berikut:
2X12 +
3X22- 50 = 0
2X12 –
X2 – 9 = 0
Penyelesaian: 


Untuk f1(x1, x2) :

Untuk f2(x1, x2):

Mencari
dan
dengan eleminasi dari persamaan (1):`



Substitusi
ke persamaan (2)






Maka
= 


i
|
x1
|
x2
|
f1
|
f2
|
dfidx1
|
dfidx2
|
df2dx1
|
df2dx2
|
d1
|
d2
|
1
|
1
|
1
|
-45
|
-8
|
4
|
6
|
4
|
-1
|
3,321429
|
5,285714
|
2
|
4,321429
|
6,285714
|
105,8801
|
22,06378
|
17,28571
|
37,71429
|
17,28571
|
-1
|
-1,40166
|
-2,165
|
3
|
2,919764
|
4,120717
|
17,99097
|
3,929327
|
11,67906
|
24,7243
|
11,67906
|
-1
|
-0,38325
|
-0,54663
|
4
|
2,536518
|
3,574088
|
1,190164
|
0,293756
|
10,14607
|
21,44453
|
10,14607
|
-1
|
-0,03289
|
-0,03994
|
5
|
2,503629
|
3,534149
|
0,006949
|
0,002163
|
10,01451
|
21,2049
|
10,01451
|
-1
|
-0,00024
|
-0,00022
|
6
|
2,503391
|
3,533934
|
2,52E-07
|
1,13E-07
|
10,01356
|
21,2036
|
10,01356
|
-1
|
-1,2E-08
|
-6,3E-09
|
7
|
2,503391
|
3,533934
|
0
|
0
|
10,01356
|
21,2036
|
10,01356
|
-1
|
0
|
0
|
8
|
2,503391
|
3,533934
|
0
|
0
|
10,01356
|
21,2036
|
10,01356
|
-1
|
0
|
0
|
9
|
2,503391
|
3,533934
|
0
|
0
|
10,01356
|
21,2036
|
10,01356
|
-1
|
0
|
0
|
10
|
2,503391
|
3,533934
|
0
|
0
|
10,01356
|
21,2036
|
10,01356
|
-1
|
0
|
0
|
11
|
2,503391
|
3,533934
|
0
|
0
|
10,01356
|
21,2036
|
10,01356
|
-1
|
0
|
0
|
12
|
2,503391
|
3,533934
|
0
|
0
|
10,01356
|
21,2036
|
10,01356
|
-1
|
0
|
0
|
13
|
2,503391
|
3,533934
|
0
|
0
|
10,01356
|
21,2036
|
10,01356
|
-1
|
0
|
0
|
14
|
2,503391
|
3,533934
|
0
|
0
|
10,01356
|
21,2036
|
10,01356
|
-1
|
0
|
0
|
15
|
2,503391
|
3,533934
|
0
|
0
|
10,01356
|
21,2036
|
10,01356
|
-1
|
0
|
0
|
2.Diketahui Persamaan berikut
x2-2y-1=0
x+y2+1=0
tentukan nilai X dan Y dari pesamaan berikut
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|


Hitung nilai
.

Penyelesaian
a.
Kita buat turunan parsial dari fungsi
pertama

Turunan
parsial terhadap
adalah


Turunan
parsial terhadap
adalah


b.
Kita buat turunan parsial dari fungsi
kedua

Turunan parsial
terhadap
adalah


Turunan
parsial terhadap
adalah


c.
Kita susun persamaan nonlinier kembali
menjadi,


Kita subsitusikan
turunan parsial diatas, menjadi


a. Kita
masukkan nilai perkiraan, awal misal
, maka di dapat nilai
dan
, yaitu:





b. Kemudian
kita gunakan nilai
dan
untuk di subtitusikan kedalam nilai
sementara, dan nilai
kita masukkan nilai perkiraaan. Setelah itu
kita masukkan
sementara ke persamaan
dan
, begitu seterusnya









c. Setelah
melakukan proses pegulangan diatas, didapat nilai
, yaitu



4.3
PENUTUP
Berdasarkan
pembahasan diatas,dapat ditarik kesimpulan bahwa sistem persamaan non linier
dapat diselesaikan dengan metode Newton-Raphson dan Jacobian. Metode Newton Raphson merupakan metode
yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riildan dapat memecahkan persamaan f(x)=0,dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f.’
Soal:
1.Diketahui Persamaan berikut
x2-2y-1=0
x+y2+1=0
tentukan nilai X dan Y dari pesamaan berikut
2. 2𝑥2
+ 𝑦 − 𝑧2 – 10 = 0
3𝑥2 + 6𝑦
− 𝑧2 – 25 =
0
𝑥2 − 5𝑦 + 6𝑧2 − 4 =
0
Tentukan
nilai x,y dan z
DAFTAR PUSTAKA
C.Chapra Steven, P.C. Raymond. 1996. METODE NUMERIK,jilid 1 :
Mc GrawHill .
Nasha, Khutwatun. 2008.Penyelesaian Sistem Persamaan Tak Linier Dengan Metode Newton-Raphson.http://lib.uin-malang.ac.id/thesis/fullchapter/03110240-khutwatun-nasiha.ps.
diakses pada tanggal 29Maret 2017.
Riggs,J. 1988. An
Introduction To Numerical Methods For Chemical Engineers. Texas Tech
University Press
Tidak ada komentar:
Posting Komentar